部分分数の分解

■問題

次の分数を部分分数に分解しなさい．

${\displaystyle \frac{6x-2}{x^2-3x-10}}$

■答

${\displaystyle \frac{2}{x+2}+\frac{4}{x-5}}$

■解き方

分母を因数分解すると

${\displaystyle \frac{6x-2}{x^2-3x-10}=\frac{6x-2}{\left(x+2\right)\left(x-5\right)}}$

となる．次に

${\displaystyle \frac{6x-2}{\left(x+2\right)\left(x-5\right)}=\frac{A}{x+2}+\frac{B}{x-5}}$

とおく．

${\displaystyle \frac{A}{x+2}+\frac{B}{x-5}}$	${\displaystyle =\frac{A\left(x-5\right)+B\left(x+2\right)}{\left(x+2\right)\left(x-5\right)}}$
	${\displaystyle =\frac{\left(A+B\right)x-5A+2B}{\left(x+2\right)\left(x-5\right)}}$

よって

${\displaystyle \{\begin{array}{c}A+B=6\\ -5A+2B=-2\end{array}}$

の関係が成り立てばよい．

${\displaystyle B=6-A}$

${\displaystyle -5A+2\left(6-A\right)=-2}$

${\displaystyle -7A=-14}$

${\displaystyle A=2}$

${\displaystyle B=4}$

以上より

${\displaystyle \frac{6x-2}{x^2-3x-10}=\frac{2}{x+2}+\frac{4}{x-5}}$

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学生スタッフ作成

最終更新日： 2023年6月27日