部分分数の分解

■問題

次の分数を部分分数に分解しなさい．

${\displaystyle \frac{2x+4}{x^2+4x-12}}$

■答

${\displaystyle \frac{1}{x+6}+\frac{1}{x-2}}$

■解き方

分母を因数分解すると

${\displaystyle \frac{2x+4}{x^2+4x-12}=\frac{2x+4}{\left(x+6\right)\left(x-2\right)}}$

となる．次に，

${\displaystyle \frac{2x+4}{\left(x+6\right)\left(x-2\right)}=\frac{A}{x+6}+\frac{B}{x-2}}$

とおく．

${\displaystyle \frac{A}{x+6}+\frac{B}{x-2}}$	${\displaystyle =\frac{A\left(x-2\right)+B\left(x+6\right)}{\left(x+6\right)\left(x-2\right)}}$

よって

${\displaystyle \{\begin{array}{c}A+B=2\\ -2A+6B=4\end{array}}$

の関係が成り立てばよい．

${\displaystyle B=2-A}$

${\displaystyle -2A+6\left(2-A\right)=4}$

${\displaystyle -8A=-8}$

${\displaystyle A=1}$

${\displaystyle B=1}$

以上より

${\displaystyle \frac{2x+4}{x^2+4x-12}=\frac{1}{x+6}+\frac{1}{x-2}}$

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学生スタッフ作成

最終更新日： 2023年6月27日