部分分数の分解

■問題

次の分数を部分分数に分解しなさい．

${\displaystyle \frac{3x-9}{{\left(x+3\right)}^2}}$

■答

${\displaystyle -\frac{18}{{\left(x+3\right)}^2}+\frac{3}{\left(x+3\right)}}$

■解き方

${\displaystyle \frac{3x-9}{{\left(x+3\right)}^2}=\frac{A}{{\left(x+3\right)}^2}+\frac{B}{x+3}}$

とおく．

${\displaystyle \frac{A}{{\left(x+3\right)}^2}+\frac{B}{x+3}}$	${\displaystyle =\frac{A+B\left(x+3\right)}{{\left(x+3\right)}^2}}$
	${\displaystyle =\frac{Bx+\left(A+3B\right)}{{\left(x+3\right)}^2}}$

よって

${\displaystyle \{\begin{array}{c}B=3\\ A+3B=-9\end{array}}$

の関係が成り立てばよい．

${\displaystyle A}$	${\displaystyle =-9-3B}$
	${\displaystyle =-9-3·3}$
	${\displaystyle =-9-9}$
	${\displaystyle =-18}$

以上より

${\displaystyle \frac{3x-9}{{\left(x+3\right)}^2}=-\frac{18}{{\left(x+3\right)}^2}+\frac{3}{\left(x+3\right)}}$

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学生スタッフ作成

最終更新日： 2023年6月27日