一般項の推測

■問題

次の数列の一般項${\displaystyle a_n}$ を推測せよ．

${\displaystyle \frac{1}{2},\frac{3}{4},\frac{5}{6},\frac{7}{8},\frac{9}{10},\cdot \cdot \cdot }$

■答

${\displaystyle a_n=\frac{2n-1}{2n}}$

■ヒント

分母と分子に分けて考えると等差数列となることを利用し，等差数列の一般項の公式より

$a_n=a_1+\left(n-1\right)d$

を用いる．

■解き方

与えられた数列の一般項${\displaystyle a_n}$を分子の一般項を${\displaystyle a_{1n}}$ ，分母の一般項を${\displaystyle a_{2n}}$とおいて

${\displaystyle a_n=\frac{a_{1n}}{a_{2n}}}$

と表し，分母と分子に分けて考えると

分子は，初項 ${\displaystyle 1}$ で各項に${\displaystyle 2}$ を加えた数字がその次の項になっている．

よって，初項${\displaystyle a_1=1}$ ，公差${\displaystyle d=2}$ であるから，その一般項${\displaystyle a_{1n}}$ は等差数列の一般項の公式

${\displaystyle a_n=a_1+\left(n-1\right)d}$

より

${\displaystyle a_{1n}}$${\displaystyle =1+\left(n-1\right)2}$${\displaystyle =1+2n-2}$${\displaystyle =2n-1}$

次に，分母は，初項 ${\displaystyle 2}$ で各項に${\displaystyle 2}$ を加えた数字がその次の項になっている．

よって，初項${\displaystyle a_1=2}$ ，公差${\displaystyle d=2}$ であるから，その一般項${\displaystyle a_{2n}}$は等差数列の一般項の公式

${\displaystyle a_n=a_1+\left(n-1\right)d}$

より

${\displaystyle a_{2n}}$${\displaystyle =2+\left(n-1\right)2}$${\displaystyle =2+2n-2}$${\displaystyle =2n}$

以上より，数列全体の一般項${\displaystyle a_n}$ は

${\displaystyle a_n=\frac{a_{1n}}{a_{2n}}=\frac{2n-1}{2n}}$

となる．

　

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学生スタッフ
最終更新日： 2024年5月28日