一般項の推測

■問題

次の数列の一般項${\displaystyle a_n}$ を推測せよ．

${\displaystyle 1,-11,21,-31,41,\cdot \cdot \cdot }$

■答

${\displaystyle a_n=\left(10n-9\right){\left(-1\right)}^{n-1}}$

■ヒント

各項を絶対値で考えると等差数列となることを利用し，等差数列の一般項の公式より

$a_n=a_1+\left(n-1\right)d$

を用いる．

■解き方

与えられた数列を絶対値で考えると

${\displaystyle \left|1\right|,\left|-11\right|,\left|21\right|,\left|-31\right|,\left|41\right|,\cdot \cdot \cdot }$ ${\displaystyle =1,11,21,31,41,\cdot \cdot \cdot }$

となる．

この数列の一般項を${\displaystyle {a^{\prime }}_n}$ とおく．

この数列は，初項 ${\displaystyle 1}$ で各項に${\displaystyle 10}$ を加えた数字がその次の項になっている．

よって，初項${\displaystyle a_1=1}$ ，公差${\displaystyle d=10}$ であるから，その一般項${\displaystyle {a^{\prime }}_n}$ は等差数列の一般項の公式

${\displaystyle a_n=a_1+\left(n-1\right)d}$

より

${\displaystyle {a^{\prime }}_n}$${\displaystyle =1+\left(n-1\right)10}$${\displaystyle =1+10n-10}$${\displaystyle =10n-9}$

次に，与えられた数列は各項の符号が交互に＋，－になっている．

これを数列に合わせて一般化すると

${\displaystyle {\left(-1\right)}^{n-1}}$

よって，数列全体の一般項${\displaystyle a_n}$ は

${\displaystyle a_n}$ ${\displaystyle ={\left(-1\right)}^{n-1}{a^{\prime }}_n}$$={\left(-1\right)}^{n-1}\left(10n-9\right)$

となる．

　

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学生スタッフ
最終更新日： 2024年5月28日