関数のべき級数展開

■問題

次の関数をべき級数展開（マクローリン展開）をせよ．

${\displaystyle log\frac{1+2x}{1-2x}}$

■ヒント

対数の性質の${\displaystyle {log}_a\frac{R}{S}={log}_{a}R-{log}_{a}S}$ を利用して式を変形する．

各項を ${\displaystyle f\left(x\right)=\log \left(1+x\right)}$ の形に変形し， べき級数展開を行う．

${\displaystyle f\left(x\right)=\log \left(1+x\right)}$ の べき級数展開は，

${\displaystyle \log \left(1+x\right)}$${\displaystyle =x-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{3}{x}^3-\frac{1}{4}{x}^4}$${\displaystyle +\cdots \cdots +\frac{{\left(-1\right)}^{n-1}\left(n-1\right)!}{n!}{x}^n+\cdots }$

となる．

これの ${\displaystyle x}$ に ${\displaystyle 2x,-2x}$ をそれぞれ代入して計算する．

■答

${\displaystyle \log \frac{1+2x}{1-2x}=\log \left(1+2x\right)-\log \left(1-2x\right)}$

（対数の性質を利用する．）

各項を別々に計算すると，

${\displaystyle \log \left(1+2x\right)}$${\displaystyle =2x-\frac{1}{2}{\left(2x\right)}^2+\frac{1}{3}{\left(2x\right)}^3}$${\displaystyle -\frac{1}{4}{\left(2x\right)}^4+\frac{1}{5}{\left(2x\right)}^5-\frac{1}{6}{\left(2x\right)}^6+\cdots }$

${\displaystyle =2x-\frac{4}{2}{x}^2+\frac{8}{3}{x}^3-\frac{16}{4}{x}^4+\frac{32}{5}{x}^5}$${\displaystyle -\frac{64}{6}{x}^6+\cdot \cdot \cdot }$

${\displaystyle =2x-2x^2+\frac{8}{3}{x}^3-4x^4+\frac{32}{5}{x}^5-}$${\displaystyle \frac{32}{3}{x}^6+\cdot \cdot \cdot }$

${\displaystyle \log (1-2x)=\log \left\{1+\left(-2x\right)\right\}}$

${\displaystyle =-2x-\frac{1}{2}{\left(-2x\right)}^2+\frac{1}{3}{\left(-2x\right)}^3}$${\displaystyle -\frac{1}{4}{\left(-2x\right)}^4+\frac{1}{5}{\left(-2x\right)}^5}$${\displaystyle -\frac{1}{6}{\left(-2x\right)}^6}$${\displaystyle +\cdots }$

${\displaystyle =-2x-\frac{4}{2}{x}^2-\frac{8}{3}{x}^3-\frac{16}{4}{x}^4-\frac{32}{5}{x}^5}$${\displaystyle -\frac{64}{6}{x}^6-\cdot \cdot \cdot }$

${\displaystyle =-2x-2x^2-\frac{8}{3}{x}^3-4x^4-\frac{32}{5}{x}^5}$${\displaystyle -\frac{32}{3}{x}^6-\cdot \cdot \cdot }$

となるので

よって，

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学生スタッフ
最終更新日： 2024年5月28日