等差数列の応用

■問題

${\displaystyle 1260}$ 以下の自然数のうち，${\displaystyle 7}$ で割り切れる数の和を求めよ．

■答

${\displaystyle S=114030}$

■ヒント

初項が${\displaystyle 7}$ ，交差が${\displaystyle 7}$ の等差数列の一般項

${\displaystyle a_n=7+7\left(n-1\right)}$

を用いる．

次に初項から末項（$a_l$ ）までの和${\displaystyle S_l}$ は，等差数列の和の公式

${\displaystyle S_l=$ {\displaystyle \frac{1}{2}\times n\times \left(a_1+a_l\right)}$}$

を用いて和を求める．

■解き方

${\displaystyle 1260÷7=180}$

よって，与えられた数列は，項数${\displaystyle 180}$ ，末項$a_{180}=1260$ の等差数列である．
題意から，与えられた等差数列は，初項${\displaystyle a_1=7}$ ，交差${\displaystyle d=7}$ であるから， 一般項${\displaystyle a_n}$ は，等差数列の一般項の公式

    ${\displaystyle a_n=a_1+\left(n-1\right)d}$

より

${\displaystyle a_n}$${\displaystyle =7+\left(n-1\right)7}$${\displaystyle =7+7n-7}$${\displaystyle =7n}$

次に，等差数列の和の公式

${\displaystyle S_n=$ {\displaystyle \frac{1}{2}\times n\times \left(a_1+a_n\right)}$}$

より

${\displaystyle S=S_{180}}$${\displaystyle =\frac{1}{2}\times 180\left(7+1260\right)}$${\displaystyle =90\times 1267}$${\displaystyle =114030}$

　

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学生スタッフ
最終更新日： 2024年5月28日