等差数列の応用

■問題

${\displaystyle 1000}$ 以下の整数のうちの，${\displaystyle 3}$で割り切れる数の和を求めよ．

■答

${\displaystyle S=166833}$

■ヒント

始めに項数を求める．題意から，初項，公差を導き，等差数列に当てはめて考える．

題意から導いた数列の和は，等差数列の和の公式

${\displaystyle S_n=\frac{n\left(a_1+a_n\right)}{2}}$

を用いて求める．

■解き方

${\displaystyle 1000÷3=333.33\cdot \cdot \cdot }$

よって，項数${\displaystyle n=333}$，末項 ${\displaystyle 333\times 3=999}$

与えられた等差数列は，初項 ${\displaystyle a_1=3}$ ，末項${\displaystyle a_{333}=999}$ ，公差${\displaystyle d=3}$ の等差数列

${\displaystyle 3,6,9,\cdot \cdot \cdot ,999}$

の和である．項数は${\displaystyle n=333}$ であるから，初項から第333項までの和 ${\displaystyle S_{333}}$は，等差数列の和の公式

${\displaystyle S_n=\frac{n\left(a_1+a_n\right)}{2}=\frac{1}{2}n\left(a_1+a_n\right)}$

より

${\displaystyle S=S_{333}}$${\displaystyle =\frac{1}{2}\times 333\times \left(3+999\right)}$${\displaystyle =166833}$

　

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学生スタッフ
最終更新日： 2024年5月28日