等比数列の応用

■問題

毎年のはじめに${\displaystyle 200,000}$ ずつ積み立てるとき，${\displaystyle 15}$年後の積立金の元利合計を，年利率${\displaystyle 0.3}$ ％，${\displaystyle 1}$ 年ごとの複利で求めよ．ただし， ${\displaystyle {1.003}^{15}=1.046}$ とする．

■ヒント

題意から，初項，公比，項数を導き，等比数列に当てはめて考える．

題意から導いた数列の和は，等比数列の和の公式

${\displaystyle S_n=\frac{a_1\left(r^n-1\right)}{r-1}}$

を用いて求める．

■答

積立１回に対する1年後，2年後，3年後，・・・の元利合計は

${\displaystyle 200000\left(1+0.003\right),}$ ${\displaystyle 200000{\left(1+0.003\right)}^2,}$ ${\displaystyle 200000{\left(1+0.003\right)}^3,\cdot \cdot \cdot }$

という等比数列となる．つまり

初項:${\displaystyle a_1=200000\left(1+0.003\right)}$ ，公比: ${\displaystyle r=\left(1+0.003\right)=1.003}$

である．

よって，15年後の元利合計を${\displaystyle S_{15}}$ とすると

${\displaystyle S_{15}}$ ${\displaystyle =\frac{200000\left(1+0.003\right)\left({1.003}^{15}-1\right)}{1.003-1}}$

( 等比数列の和の公式 ${\displaystyle S_n=\frac{a_1\left(r^n-1\right)}{r-1}}$より)

${\displaystyle =\frac{200000\times 1.003\left(1.046-1\right)}{0.003}}$

(与えられている${\displaystyle {1.003}^{15}=1.046}$を用いた)

${\displaystyle =3075866.7}$

よって，約${\displaystyle \mathrm{3075,867}}$円となる．

　

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学生スタッフ
最終更新日： 2024年10月7日