数列の極限に関する問題

■問題

数列

${\displaystyle \frac{2+9}{5-3},\frac{2^2+9}{5^2-3},\frac{2^3+9}{5^3-3}}$${\displaystyle ,\cdot \cdot \cdot ,\frac{2^n+9}{5^n-3}}$${\displaystyle ,\cdot \cdot \cdot }$

すなわち第 ${\displaystyle n}$ 項

${\displaystyle a_n=\frac{2^n+9}{5^n-3}}$

となる数列の極限値

${\displaystyle \underset{n\to \infty }{lim}{a}_n=\underset{n\to \infty }{lim}\frac{2^n+9}{5^n-3}}$

を求めよ．

■答

${\displaystyle \underset{n\to \infty }{lim}{a}_n=\underset{n\to \infty }{lim}\frac{2^n+9}{5^n-3}=0}$

■ヒント

分母の変数の中で最も次数の高いもので分子・分母を割る．

式を変形した後， ${\displaystyle n}$ が含まれている項のみ， ${\displaystyle n}$ が ${\displaystyle \infty }$ になったときの値を調べる．

最後に，式全体で収束・発散を判断する．

■解き方

${\displaystyle \underset{n\to \infty }{lim}\frac{2^n+9}{5^n-3}}$

${\displaystyle n\to \infty }$ とすると， ${\displaystyle \frac{\infty }{\infty }}$ の形になる．従って，分母の変数の中で最も次数の高いもので
分子・分母を割る．

${\displaystyle =\underset{n\to \infty }{lim}\frac{{\left(\frac{2}{5}\right)}^n+\frac{9}{5^n}}{1-\frac{3}{5^n}}}$

${\displaystyle n}$ が含まれていない項は一定であるから， ${\displaystyle {\left(\frac{2}{5}\right)}^n,\frac{9}{5^n},\frac{3}{5^n}}$ の ${\displaystyle n}$ が ${\displaystyle \infty }$ になったときの値を調べればよい．

${\displaystyle \left[1\right]}$ ${\displaystyle {\left(\frac{2}{5}\right)}^n}$

${\displaystyle -1<\frac{2}{5}<1}$ であるから，極限の基本式より

${\displaystyle n\to \infty }$ ならば， ${\displaystyle {\left(\frac{2}{5}\right)}^n}$ は ${\displaystyle 0}$ に収束する

${\displaystyle \left[2\right]}$ ${\displaystyle \frac{9}{5^n}}$

${\displaystyle n\to \infty }$ ならば， ${\displaystyle \frac{9}{5^n}}$ は${\displaystyle 0}$ に収束する．

${\displaystyle \left[3\right]}$ ${\displaystyle \frac{3}{5^n}}$

${\displaystyle n\to \infty }$ ならば， ${\displaystyle \frac{3}{5^n}}$ は${\displaystyle 0}$ に収束する

${\displaystyle \left[1\right],\left[2\right],\left[3\right]}$ より

${\displaystyle \underset{n\to \infty }{lim}\frac{2^n+9}{5^n-3}}$${\displaystyle =\underset{n\to \infty }{lim}\frac{{\left(\frac{2}{5}\right)}^n+\frac{9}{5^n}}{1-\frac{3}{5^n}}}$${\displaystyle =\frac{0+0}{1-0}}$${\displaystyle =0}$

よって，与式は ${\displaystyle 0}$ に収束する．

　

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最終更新日： 2024年5月28日