平面の方程式の問題

■問題

空間座標上の3点${\displaystyle \text{A}\left(1,2,0\right)}$ ，${\displaystyle \text{B}\left(3,0,1\right)}$ ，${\displaystyle \text{C}\left(0,1,4\right)}$ を通る平面の方程式を求めよ．

■答

${\displaystyle -7x-9y++4z=-25}$

■ヒント

${\displaystyle \overrightarrow{\text{AB}}}$ と${\displaystyle \overrightarrow{\text{AC}}}$ は平面のベクトルであり，外積 ${\displaystyle \overrightarrow{\text{AB}}\times \overrightarrow{\text{AC}}}$ は平面に垂直なベクトルとなる．　(法線ベクトル参照)

${\displaystyle \overrightarrow{\text{AB}}=\left(a_x,a_y,a_z\right)}$ ，${\displaystyle \overrightarrow{\text{AC}}=\left(b_x,b_y,b_z\right)}$ のとき

${\displaystyle \overrightarrow{\text{AB}}\times \overrightarrow{\text{AC}}}$${\displaystyle =\left(a_y{b}_z-a_z{b}_y,a_z{b}_x-a_x{b}_z,a_x{b}_y-a_y{b}_x\right)}$

(外積の成分表示を参照)

となる．

■答

初めに，${\displaystyle \overrightarrow{\text{AB}}}$ ，${\displaystyle \overrightarrow{\text{AC}}}$ を求める．

${\displaystyle \overrightarrow{\text{AB}}=\overrightarrow{\text{AO}}+\overrightarrow{\text{OB}}=\overrightarrow{\text{OB}}-\overrightarrow{\text{OA}}}$${\displaystyle =\left(3,0,1\right)-\left(1,2,0\right)}$${\displaystyle =\left(2,-2,1\right)}$

${\displaystyle \overrightarrow{\text{AC}}=\overrightarrow{\text{AO}}+\overrightarrow{\text{OC}}=\overrightarrow{\text{OC}}-\overrightarrow{\text{OA}}}$${\displaystyle =\left(0,1,4\right)+\left(1,2,0\right)}$${\displaystyle =\left(-1,-1,4\right)}$

となる．

よって，求める外積${\displaystyle \overrightarrow{\text{AB}}\times \overrightarrow{\text{AC}}}$ は

${\displaystyle \overrightarrow{\text{AB}}=\left(2,-2,1\right),\overrightarrow{\text{AC}}=\left(-1,-1,-4\right)}$ より

${\displaystyle \overrightarrow{\text{AB}}\times \overrightarrow{\text{AC}}=\left(-7,-9,-4\right)}$

となる．

したがって，点${\displaystyle \text{A}\left(1,2,0\right)}$ を通り，${\displaystyle \left(-7,-9,-4\right)}$ を法線ベクトルとする平面の方程式は

${\displaystyle -7\left(x-1\right)-9\left(y-2\right)-4z=0}$

${\displaystyle -7x-9y+-4z=-25}$

となる．

　

ホーム>>カテゴリー分類>>ベクトル>>ベクトルに関する問題>>平面の方程式の問題

学生スタッフ
最終更新日： 2023年2月17日