三角形の面積の問題

■問題

空間座標上の3点${\displaystyle \text{A}\left(-2,1,3\right)}$ ，${\displaystyle \text{B}\left(-3,1,4\right)}$ ，${\displaystyle \text{C}\left(-3,3,5\right)}$ を頂点とする三角形の面積を求めよ．

■答

${\displaystyle \frac{3}{2}}$

■ヒント

ベクトルの大きさ${\displaystyle \left|\overrightarrow{\text{AB}}\times \overrightarrow{\text{AC}}\right|}$ は，${\displaystyle \overrightarrow{\text{AB}}}$ と${\displaystyle \overrightarrow{\text{AC}}}$ を2辺とする平行四辺形の面積となる． (外積の定義を参照)

よって，平行四辺形の面積を${\displaystyle S}$ とすると

${\displaystyle S=\left|\overrightarrow{\text{AB}}\times \overrightarrow{\text{AC}}\right|}$

となり，三角形の面積は

${\displaystyle \frac{S}{2}=\frac{\left|\overrightarrow{\text{AB}}\times \overrightarrow{\text{AC}}\right|}{2}}$

となる．

また

${\displaystyle \overrightarrow{\text{AB}}=\left(a_x,a_y,a_z\right)}$ ，${\displaystyle \overrightarrow{\text{AC}}=\left(b_x,b_y,b_z\right)}$ のとき

${\displaystyle \overrightarrow{\text{AB}}\times \overrightarrow{\text{AC}}=}$${\displaystyle \left(a_y{b}_z-a_z{b}_y,a_z{b}_x-a_x{b}_z,a_x{b}_y-a_y{b}_x\right)}$

(外積の成分表示を参照)

となる．

■答

${\displaystyle \overrightarrow{\text{AB}}}$ ，${\displaystyle \overrightarrow{\text{AC}}}$ の成分を求めると

${\displaystyle \overrightarrow{\text{AB}}=\overrightarrow{\text{AO}}+\overrightarrow{\text{OB}}=\overrightarrow{\text{OB}}-\overrightarrow{\text{OA}}}$ ${\displaystyle =\left(-3,1,4\right)-\left(-2,1,3\right)=\left(-1,0,1\right)}$

${\displaystyle \overrightarrow{\text{AC}}=\overrightarrow{\text{AO}}+\overrightarrow{\text{OC}}=\overrightarrow{\text{OC}}-\overrightarrow{\text{OA}}}$ ${\displaystyle =\left(-3,3,5\right)-\left(-2,1,3\right)=\left(-1,2,2\right)}$

となる．

これより，外積${\displaystyle \overrightarrow{\text{AB}}\times \overrightarrow{\text{AC}}}$ を求める．

${\displaystyle \overrightarrow{\text{AB}}\times \overrightarrow{\text{AC}}}$${\displaystyle {\displaystyle =\left(a_y{b}_z-a_z{b}_y,a_z{b}_x-a_x{b}_z,a_x{b}_y-a_y{b}_x\right)}}$ より

${\displaystyle {\displaystyle a_y{b}_z-a_z{b}_y=0\times 2-1\times 2=}-2}$

${\displaystyle a_z{b}_x-a_x{b}_z}$${\displaystyle =1\times \left(-1\right)-\left(-1\right)\times 2=1}$

${\displaystyle a_x{b}_y-a_y{b}_x}$${\displaystyle =\left(-1\right)\times 2-0\times \left(-1\right)=-2}$

${\displaystyle \overrightarrow{\text{AB}}\times \overrightarrow{\text{AC}}=\left(-2,1,-2\right)}$

となる．

よって，平行四辺形の面積 ${\displaystyle \text{S}=\left|\overrightarrow{\text{AB}}\times \overrightarrow{\text{AC}}\right|}$ は

${\displaystyle \left|\overrightarrow{\text{AB}}\times \overrightarrow{\text{AC}}\right|=\left|\left(-2,1,-2\right)\right|}$${\displaystyle =\sqrt{{\left(-2\right)}^2+1^2+{\left(-2\right)}^2}}$${\displaystyle =3}$

となり，求める三角形の面積は

${\displaystyle \frac{\text{S}}{2}=\frac{\left|\overrightarrow{\text{AB}}\times \overrightarrow{\text{AC}}\right|}{2}=\frac{3}{2}}$

と求まる．

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学生スタッフ
最終更新日： 2023年2月17日