平面の方程式の問題

■問題

空間座標上の点 ${\displaystyle \text{A}\left(1,0,2\right)}$ を通り， ${\displaystyle \overrightarrow{n}=\left(1,3,2\right)}$ に垂直な平面の方程式を求めよ．

■答

${\displaystyle x+3y+2z=5}$

■ヒント

点 ${\displaystyle \text{A}}$ を通り， ${\displaystyle \overrightarrow{n}}$ に垂直な平面上の点を ${\displaystyle \text{P}}$ とする．

${\displaystyle \overrightarrow{n}}$ は平面の法線ベクトルなので， ${\displaystyle \overrightarrow{n}}$ と ${\displaystyle \stackrel{⟶}{\text{AP}}}$ のなす角は90°となり，

内積は0となる．

よって

${\displaystyle $ {\displaystyle \overrightarrow{n}·\overrightarrow{\text{AP}}=0}$}$       (法線ベクトルを参照)

を用いる．

■解説

${\displaystyle \overrightarrow{n}·\overrightarrow{\text{AP}}=0}$       （点 ${\displaystyle \text{P}}$ の座標を ${\displaystyle \left(x,y,z\right)}$ とする ）

${\displaystyle \left(1,3,2\right)·\left(x-1,y,z-2\right)=0}$

${\displaystyle \left(x-1\right)+3y+2\left(z-2\right)=0}$

${\displaystyle x+3y+2z=5}$

　

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学生スタッフ
最終更新日： 2025年12月1日