平面の方程式の問題

■問題

２つの平面 ${\displaystyle x-2y=4}$ ,${\displaystyle y-3z=5}$ が交わることによって生じる直線(交線)の方程式を求めよ．

■答

${\displaystyle \frac{x-14}{6}=\frac{y-5}{3}=z}$

■解説

交線上の点${\displaystyle \left(x,y,z\right)}$ は2の平面上の点であるから  

${\displaystyle x-2y=4}$　･･････(1)

${\displaystyle y-3z=5}$　･･････(2)

を同時にみたしている．

(1)+(2)×2より

${\displaystyle x-6z=14}$，$x=6z+14$

(2)より

$y=3z+5$

となる．ここで${\displaystyle z=t}$ とおくことで 

${\displaystyle \left(x,y,z\right)=\left(6t+14,3t+5,t\right)}$ ${\displaystyle =\left(14,5,0\right)+t\left(6,3,1\right)}$  

となる．直線は点 ${\displaystyle \left(14,5,0\right)}$ を通り，ベクトル${\displaystyle \left(6,3,1\right)}$ に平行である．

よって求める直線の方程式は， 

${\displaystyle \frac{x-14}{6}=\frac{y-5}{3}=\frac{z-0}{1}}$

${\displaystyle \frac{x-14}{6}=\frac{y-5}{3}=z}$

となる．

　

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学生スタッフ
最終更新日： 2025年1月15日