重積分の計算問題

■問題

適当な変数変換を行って次の重積分を計算せよ．

${\displaystyle {\displaystyle {\iint }_D\frac{x-y}{1+x+y}}dxdy}$　　${\displaystyle \left(D:0\leqq x+y\leqq 1,0\leqq x-y\leqq 1\right)}$

■答

${\displaystyle \frac{1}{4}\log 2}$

■ヒント

${\displaystyle x+y=u}$ ，${\displaystyle x-y=v}$ とおく変数変換により，積分の計算を簡単化する。ヤコビアンの計算式も参考にする．

■解き方

領域${\displaystyle D}$　 領域${\displaystyle D^{\prime }}$

${\displaystyle x+y=u}$ ，${\displaystyle x-y=v}$ とおくと

${\displaystyle x=\frac{1}{2}\left(u+v\right)}$ ，${\displaystyle y=\frac{1}{2}\left(u-v\right)}$

となる．この変数変換によるヤコビアンは

${\displaystyle J\left(u,v\right)=\left|\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right|=-\frac{1}{4}-\frac{1}{4}=-\frac{1}{2}}$

となる．変数変換により${\displaystyle \left(x,y\right)}$ の領域${\displaystyle D}$ は${\displaystyle {\displaystyle \left(u,v\right)}}$ の領域${\displaystyle D^{\prime }}$

${\displaystyle D^{\prime }:0\leqq u\leqq 1,0\leqq v\leqq 1}$ （正方形）

に変換される．よって

(与式)${\displaystyle ={\displaystyle {\iint }_{D^{\prime }}\frac{v}{1+u}}·\frac{1}{2}dudv}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_0^1\left({{\displaystyle \int }}_0^1\frac{v}{1+u}du\right)dv}}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_0^{1}v{\left[\log \left|1+u\right|\right]}_0^{1}dv}}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_0^{1}v·}\log 2dv}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}\log 2{\left[\frac{1}{2}{v}^2\right]}_0^1}$

${\displaystyle =\frac{1}{4}\log 2}$

 

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最終更新日： 2023年10月19日