重積分の計算問題

■問題

適当な変数変換を行って次の重積分を計算せよ．

${\displaystyle {\displaystyle {\iint }_{D}64xydxdy}}$　　${\displaystyle \left(D:1\leqq x+y\leqq 2,-2\leqq x-3y\leqq 0\right)}$

■答

${\displaystyle \frac{52}{3}}$

■ヒント

${\displaystyle x+y=u}$ ，${\displaystyle x-3y=v}$ とおく変数変換により，積分の計算を簡単化する。ヤコビアンの計算式も参考にする．

■解き方

領域${\displaystyle D}$　 領域${\displaystyle D^{\prime }}$

$x+y=u$ ，${\displaystyle x-3y=v}$ とおくと

${\displaystyle x=\frac{1}{4}\left(3u+v\right)}$ ，${\displaystyle y=\frac{1}{4}\left(u-v\right)}$

となる．この変数変換によるヤコビアンは

${\displaystyle J\left(u,v\right)=\left|\begin{array}{cc}\frac{3}{4}& \frac{1}{4}\\ \frac{1}{4}& -\frac{1}{4}\end{array}\right|=-\frac{3}{16}-\frac{1}{16}}$${\displaystyle =-\frac{1}{4}}$

となる．変数変換により${\displaystyle \left(x,y\right)}$ の領域${\displaystyle D}$ は${\displaystyle {\displaystyle \left(u,v\right)}}$ の領域${\displaystyle D^{\prime }}$

${\displaystyle D^{\prime }:1\leqq u\leqq 2,-2\leqq v\leqq 0}$

に変換される．よって

${\displaystyle ={\displaystyle {\iint }_{D^{\prime }}\left(3u^2-2uv-v^2\right)}dudv}$

${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_1^2\left\{{{\displaystyle \int }}_{-2}^0\left(3u^2-2uv-v^2\right)dv\right\}du}}$

${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_1^2{\left[3u^{2}v-u{v}^2-\frac{1}{3}{v}^3\right]}_{-2}^{0}du}}$

${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_1^2\left(6u^2+4u-\frac{8}{3}\right)}du}$

${\displaystyle ={\left[2u^3+2u^2-\frac{8}{3}u\right]}_1^2}$

${\displaystyle =\left\{\left(16+8-\frac{16}{3}\right)-\left(2+2-\frac{8}{3}\right)\right\}}$

${\displaystyle =\frac{52}{3}}$

 

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最終更新日： 2023年10月19日