重積分の計算問題

■問題

次の重積分の値を求めよ．

${\displaystyle {\displaystyle {\iint }_D\sqrt{a^2-x^2-y^2}dxdy}}$　　${\displaystyle (D:x^2+y^2\leqq ax)}$

■答

${\displaystyle \frac{1}{3}\pi a^3}$

■ヒント

領域 ${\displaystyle D}$ の範囲は円になっているので極座標に変数変換する．

■解き方

領域${\displaystyle D}$の範囲を確認する．

${\displaystyle x^2+y^2\leqq ax}$

${\displaystyle x^2-ax+y^2\leqq 0}$

${\displaystyle {\left(x-\frac{a}{2}\right)}^2+y^2\leqq {\left(\frac{a}{2}\right)}^2}$

よって， 領域${\displaystyle D}$は中心が${\displaystyle \left(\frac{a}{2},0\right)}$ ，半径が${\displaystyle \frac{a}{2}}$ の内部になる．

極座標変換 ${\displaystyle x=r\cos \theta }$ ，${\displaystyle y=r\sin \theta }$ を行うと，${\displaystyle \left(x,y\right)}$の領域${\displaystyle D}$ は図のような${\displaystyle \left(r,\theta \right)}$ の領域${\displaystyle D^{\prime }}$

${\displaystyle D^{\prime }:0\leqq r\leqq a\cos \theta ,-\frac{\pi }{2}\leqq \theta \leqq \frac{\pi }{2}}$

に移る．

(与式)${\displaystyle ={\displaystyle {\iint }_{D^{\prime }}\sqrt{a^2-r^2}}·rdrd\theta }$

${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\left({\displaystyle {\int }_0^{a\cos \theta }\sqrt{a^2-r^2}·rdr}\right)d\theta }}$

${\displaystyle {\displaystyle {\int }_0^{a\cos \theta }\sqrt{a^2-r^2}·rdr}}$ について

${\displaystyle t=\sqrt{a^2-r^2}}$ とおく置換積分をする．

${\displaystyle \frac{dt}{dr}=-\frac{r}{\sqrt{a^2-r^2}}}$ ，${\displaystyle \frac{dt}{dr}=-\frac{r}{t}}$ ，${\displaystyle rdt=-tdt}$

${\displaystyle r:0\to a\cos \theta }$ のとき${\displaystyle t:a\to a\sin \theta }$

よって

${\displaystyle {\displaystyle {\int }_0^{a\cos \theta }\sqrt{a^2-r^2}·rdr}}$${\displaystyle =-{\displaystyle {\int }_a^{a\sin \theta }{t}^{2}dt}}$

${\displaystyle =-{\left[\frac{1}{3}{t}^3\right]}_a^{a\sin \theta }}$

${\displaystyle =-\frac{1}{3}{a}^3{\sin }^3\theta +\frac{1}{3}{a}^3}$

${\displaystyle =\frac{1}{3}{a}^3\left(1-{\sin }^3\theta \right)}$

したがって

(与式)${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\frac{1}{3}{a}^3\left(1-{\sin }^3\theta \right)d\theta }}$

${\displaystyle =\frac{1}{3}{a}^3{\displaystyle {\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}d\theta }-\frac{1}{3}{a}^3{\displaystyle {\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^3\theta d\theta }}$

${\displaystyle {\sin }^3\theta }$ は奇関数より，${\displaystyle {\displaystyle {\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^3\theta d\theta }=0}$　（ここを参照）．よって

${\displaystyle =\frac{1}{3}{a}^3{\left[\theta \right]}_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}-0}$

${\displaystyle =\frac{1}{3}\pi a^3}$

 

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最終更新日： 2023年8月22日