適当な変数変換を行って次の重積分を計算せよ．
∬ D ( x 2 − y 2 ) ( x+y )dxdy ( D:0≦x+y≦2,−1≦x−y≦2 )
2
x+y=u ， x−y=v とおく変数変換により，積分の計算を簡単化する。ヤコビアンの計算式も参考にする．
領域 D
領域 D ′
x+y=u ， x−y=v とおくと
x= 1 2 ( u+v ) ， y= 1 2 ( u−v )
となる．よって，この変数変換によるヤコビアンは
J( u,v )=| ∂x ∂u ∂x ∂v ∂y ∂u ∂y ∂v |=| 1 2 1 2 1 2 − 1 2 |=− 1 2
となる．変数変換によって x,y の領域 D は u,v の領域 D ′
D ′ :0≦u≦2,−1≦v≦2
に変換される．よって
(与式) = ∬ D ′ { ( 1 2 u+ 1 2 v ) 2 − ( 1 2 u− 1 2 v ) 2 }u 1 2 dudv
= 1 2 ∬ D ′ u 2 v d u d v
= 1 2 ∫ −1 2 ∫ 0 2 u 2 v du dv
= 1 2 ∫ −1 2 [ 1 3 u 3 v ] 0 2 dv
= 1 2 ∫ −1 2 ( 8 3 v−0 ) dv
= 1 2 ∫ − 1 2 8 3 v d v
= 1 2 [ 4 3 v 2 ] −1 2
= 1 2 ( 16 3 − 4 3 )
=2
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最終更新日： 2025年3月28日
