変数変換

■問題

適当な変数変換を行って次の重積分を計算せよ．

■答

${\displaystyle 12}$

■ヒント

${\displaystyle x+y=u}$ ，${\displaystyle x-y=v}$ とおく変数変換により，積分の計算を簡単化する。ヤコビアンの計算式も参考にする．

■解き方

領域${\displaystyle D}$　 領域${\displaystyle D^{\prime }}$

${\displaystyle x+y=u}$，${\displaystyle x-y=v}$ とおくと

${\displaystyle x=\frac{1}{2}\left(u+v\right)}$，${\displaystyle y=\frac{1}{2}\left(u-v\right)}$

となる．よって，この変数変換によるヤコビアンは

${\displaystyle J\left(u,v\right)=\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial x}{\partial u}& \frac{\partial x}{\partial v}\\ \frac{\partial y}{\partial u}& \frac{\partial y}{\partial v}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right|}$${\displaystyle =-\frac{1}{2}}$

となる．変数変換によって${\displaystyle \left(x,y\right)}$ の領域$D$ は${\displaystyle \left(u,v\right)}$ の領域${\displaystyle D^{\prime }}$

${\displaystyle D^{\prime }:0\leqq u\leqq 2,-1\leqq v\leqq 2}$

に変換される．よって

(与式)${\displaystyle ={\displaystyle {\iint }_{D^{\prime }}\left(4u^{3}v\right)\frac{1}{2}dudv}}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{-1}^2\left({{\displaystyle \int }}_0^2\left(4u^{3}v\right)du\right)dv}}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{-1}^2{\left[u^{4}v\right]}_0^{2}dv}}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{-1}^2\left(\mathrm{16}v\right)dv}}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}{\left[8v^2\right]}_{-1}^2}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}\left(32-8\right)}$

${\displaystyle {\displaystyle =12}}$

　

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学生スタッフ作成

最終更新日： 2023年10月19日