変数変換

■問題

適当な変数変換を行って次の重積分を計算せよ．

${\displaystyle {\displaystyle {\iint }_D\left(x^3+y^3\right)}dxdy}$ 　　 ${\displaystyle \left(D:0\leqq x+y\leqq 1,-1\leqq x-2y\leqq 2\right)}$

■答

${\displaystyle \frac{11}{36}}$

■ヒント

${\displaystyle x+y=u}$ ，${\displaystyle x-2y=v}$ とおく変数変換により，積分の計算を簡単化する。ヤコビアンの計算式も参考にする．

■解き方

領域${\displaystyle D}$　 領域${\displaystyle D^{\prime }}$

${\displaystyle x+y=u}$，${\displaystyle x-2y=v}$ とおくと

${\displaystyle x=\frac{1}{3}\left(2u+v\right)}$ ，${\displaystyle y=\frac{1}{3}\left(u-v\right)}$

となる．よって，この変数変換によるヤコビアンは

${\displaystyle J\left(u,v\right)=\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial x}{\partial u}& \frac{\partial x}{\partial v}\\ \frac{\partial y}{\partial u}& \frac{\partial y}{\partial v}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}\frac{2}{3}& \frac{1}{3}\\ \frac{1}{3}& -\frac{1}{3}\end{array}\right|}$${\displaystyle =-\frac{1}{3}}$

となる．変数変換によって${\displaystyle \left(x,y\right)}$ の領域$D$ は${\displaystyle \left(u,v\right)}$ の領域${\displaystyle D^{\prime }}$

${\displaystyle \left(D^{\prime }:0\leqq u\leqq 1,-1\leqq v\leqq 2\right)}$

に変換される．よって

(与式)${\displaystyle ={{\displaystyle \iint }}_{D^{\prime }}\left(\frac{u^3}{3}+\frac{u^{2}v}{3}+\frac{u{v}^2}{3}\right)\frac{1}{3}dudv}$

${\displaystyle =\frac{1}{9}{\displaystyle {\int }_0^1\left\{{{\displaystyle \int }}_{-1}^2\left(u^3+u^{2}v+u{v}^2\right)dv\right\}du}}$

${\displaystyle =\frac{1}{9}{\displaystyle {\int }_0^1{\left[u^{3}v+\frac{1}{2}{u}^2{v}^2+\frac{1}{3}u{v}^3\right]}_{-1}^{2}du}}$

${\displaystyle =\frac{1}{9}{\displaystyle {\int }_0^1\left(3u^3+\frac{3}{2}{u}^2+3u\right)}du}$

${\displaystyle =\frac{1}{9}{\left[\frac{3}{4}{u}^4+\frac{1}{2}{u}^3+\frac{3}{2}{u}^2\right]}_0^1}$

${\displaystyle =\frac{11}{36}}$

　

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最終更新日： 2023年10月19日