媒介変数表示における導関数

$3$\displaystyle{x=f $t$ }$ ， $3$\displaystyle{y=g $t$ }$ と媒介変数で表すことのできる $3$\displaystyle{x}$ の関数 $3$\displaystyle{y}$ がある．このときの， $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}}$ は

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} \frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dt \hspace{2}} \hspace{2}}{\hspace{2} \frac{\hspace{2} dx \hspace{2}}{\hspace{2} dt \hspace{2}} \hspace{2}}}$

となる．

■導出

$3$\displaystyle{x=f $t$ }$ を $3$\displaystyle{t}$ に関して解いて $3$\displaystyle{t=r $x$ }$ が得られたとする．すると， $3$\displaystyle{y=g $ r \(x$ \) }$ と表すことができる．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}={ \lim }\limits_{ h\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} g $ r \( x+h $ \) - g $ r \(x$ \) \hspace{2}}{\hspace{2}h\hspace{2}}}$

ここで， $3$\displaystyle{h={\Delta}x=f $ t+j $ - f $t$ }$ （ $3$\displaystyle{j={\Delta}t}$ ）である．

$3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ h\rightarrow 0 } \{ \frac{\hspace{2} g $ r \( x+h $ \) - g $ r \(x$ \) \hspace{2}}{\hspace{2} r $ x+h $ - r $x$ \hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{ \cdot \frac{\hspace{2} r $ x+h $ - r $x$ \hspace{2}}{\hspace{2}h\hspace{2}} \} }$

ここで， $3$\displaystyle{r $ x+h $ - r $x$ =j}$ とおくと， $3$\displaystyle{r $ x+h $ =r $x$ +j=t+j}$ となる．また， $3$\displaystyle{h\rightarrow 0}$ ならば $3$\displaystyle{j\rightarrow 0}$ となる．よって，

$3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ j\rightarrow 0 } \{ \frac{\hspace{2} g $ t+j $ - g $t$ \hspace{2}}{\hspace{2}j\hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{ \cdot \frac{\hspace{2}j\hspace{2}}{\hspace{2} f $ t+j $ - f $t$ \hspace{2}} \} }$

$3$\displaystyle{= \{ { \lim }\limits_{ j\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} g $ t+j $ - g $t$ \hspace{2}}{\hspace{2}j\hspace{2}} \} }$ $3$\displaystyle{ \cdot \{ { \lim }\limits_{ j\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \frac{\hspace{2} f $ t+j $ - f $t$ \hspace{2}}{\hspace{2}j\hspace{2}} \hspace{2}} \} }$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} {g}^{\prime } $t$ \hspace{2}}{\hspace{2} {f}^{\prime } $t$ \hspace{2}}}$

微分に関する基本式を参照

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} \text{\hspace{1}}\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dt \hspace{2}}\text{\hspace{1}} \hspace{2}}{\hspace{2} \frac{\hspace{2} dx \hspace{2}}{\hspace{2} dt \hspace{2}} \hspace{2}}}$

●グラフを用いた媒介変数表示における導関数の説明

$3$\displaystyle{ x=f $t$ }$

$3$\displaystyle{y=g $t$ }$

$3$\displaystyle{{\Delta}x=f $ t+{\Delta}t $ - f $t$ }$ ， $3$\displaystyle{{\Delta}y=g $ t+{\Delta}t $ - g $t$ }$ とする．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}={ \lim }\limits_{ {\Delta}x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} {\Delta}y \hspace{2}}{\hspace{2} {\Delta}x \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} {\Delta}y \hspace{2}}{\hspace{2} {\Delta}x \hspace{2}}}$ の分母，分子を $3$\displaystyle{{\Delta}t}$ で割ると

$3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ {\Delta}x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} \frac{\hspace{2} {\Delta}y \hspace{2}}{\hspace{2} {\Delta}t \hspace{2}} \hspace{2}}{\hspace{2} \frac{\hspace{2} {\Delta}x \hspace{2}}{\hspace{2} {\Delta}t \hspace{2}} \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{{\Delta}x\rightarrow 0}$ のとき $3$\displaystyle{{\Delta}t\rightarrow 0}$ となる．

よって

$3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ {\Delta}t\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} \frac{\hspace{2} {\Delta}y \hspace{2}}{\hspace{2} {\Delta}t \hspace{2}} \hspace{2}}{\hspace{2} \frac{\hspace{2} {\Delta}x \hspace{2}}{\hspace{2} {\Delta}t \hspace{2}} \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} { \lim }\limits_{ {\Delta}t\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} {\Delta}y \hspace{2}}{\hspace{2} {\Delta}t \hspace{2}} \hspace{2}}{\hspace{2} { \lim }\limits_{ {\Delta}t\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} {\Delta}x \hspace{2}}{\hspace{2} {\Delta}t \hspace{2}} \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} \frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dt \hspace{2}} \hspace{2}}{\hspace{2} \frac{\hspace{2} dx \hspace{2}}{\hspace{2} dt \hspace{2}} \hspace{2}}}$

まとめると

となる．

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最終更新日 2025年4月27日