微分演算子の交換則

微分演算子 $3$\displaystyle{f $D$ }$ ， $3$\displaystyle{g $D$ }$ に対して

$3$\displaystyle{f $D$ g $D$ =g $D$ f $D$ }$

が成り立つ．すなわち，交換則が成り立つ．

■具体的な解説

$3$\displaystyle{f\left({D}\right)=D+\hspace{1}{C}_{1}}$ 　･･････(1)

$3$\displaystyle{g\left({D}\right)=D+\hspace{1}{C}_{2}}$ 　･･････(2)

とする．

$3$\displaystyle{\left{{ f\left({D}\right)g\left({D}\right) }\right}y=f\left({D}\right)\left{{ g\left({D}\right)y }\right}}$

(微分演算子の積を参照)

$3$\displaystyle{=\left({ D+\hspace{1}{C}_{1} }\right)\left{{ g\left({D}\right)y }\right}}$

$3$\displaystyle{=D\left{{ g\left({D}\right)y }\right}+\hspace{1}{C}_{1}\left{{ g\left({D}\right)y }\right}}$

$3$\displaystyle{=D\left{{ \left({ D+\hspace{1}{C}_{2} }\right)y }\right}+\hspace{1}{C}_{1}\left{{ \left({ D+\hspace{1}{C}_{2} }\right)y }\right}}$

$3$\displaystyle{=\left({ {D}^{2}+\hspace{1}{C}_{2}D }\right)y+\left({ \hspace{1}{C}_{1}D+\hspace{1}{C}_{1}\hspace{1}{C}_{2} }\right)y}$

$3$\displaystyle{={D}^{2}y+\hspace{1}{C}_{2}Dy+\hspace{1}{C}_{1}Dy+\hspace{1}{C}_{1}\hspace{1}{C}_{2}y}$

$3$\displaystyle{={D}^{2}y+\hspace{1}{C}_{1}Dy+\hspace{1}{C}_{2}Dy+\hspace{1}{C}_{1}\hspace{1}{C}_{2}y}$

$3$\displaystyle{=\left({ {D}^{2}+\hspace{1}{C}_{1}D }\right)y+\left({ \hspace{1}{C}_{2}D+\hspace{1}{C}_{1}\hspace{1}{C}_{2} }\right)y}$

$3$\displaystyle{=D\left{{ \left({ D+\hspace{1}{C}_{1} }\right)y }\right}+\hspace{1}{C}_{2}\left{{ \left({ D+\hspace{1}{C}_{1} }\right)y }\right}}$

$3$\displaystyle{=D\left{{ f\left({D}\right)y }\right}+\hspace{1}{C}_{1}\left{{ f\left({D}\right)y }\right}}$

$3$\displaystyle{=\left({ D+\hspace{1}{C}_{2} }\right)\left{{ f\left({D}\right)y }\right}}$

$3$\displaystyle{=g\left({D}\right)\left{{ f\left({D}\right)y }\right}}$

$3$\displaystyle{=\left{{ g\left({D}\right)f\left({D}\right) }\right}y}$

よって

$3$\displaystyle{f $D$ g $D$ =g $D$ f $D$ }$

が成り立つ．

学生スタッフ作成
最終更新日： 2024年5月17日