式の導出

$3$\displaystyle{\displaystyle{ \int x{e}^{ i2ax }dx }}$ の積分

この式を次のように置き換えて，部分積分をする．

$3$\displaystyle{\displaystyle{ \int x{e}^{ i2ax }dx }}$ $3$\displaystyle{={\displaystyle{ \int $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} i2a \hspace{2}}{e}^{ i2ax } $ }}^{\prime }xdx}$ 　

　 $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} i2a \hspace{2}}{e}^{ i2ax }x- \displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} i2a \hspace{2}}{e}^{ i2ax }dx }}$ 　

次に $3$\displaystyle{\displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} i2a \hspace{2}}{e}^{ i2ax }dx }}$ を置換積分する．

$3$\displaystyle{t=i2ax}$ とおくと

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dt \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=i2a}$

$3$\displaystyle{dx=\frac{\hspace{2} dt \hspace{2}}{\hspace{2} i2a \hspace{2}}}$

よって

$3$\displaystyle{\displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} i2a \hspace{2}}{e}^{ i2ax }dx }}$ $3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} i2a \hspace{2}}{e}^{t}\frac{\hspace{2} dt \hspace{2}}{\hspace{2} i2a \hspace{2}} }}$

$3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} { $ i2a $ }^{2} \hspace{2}}{e}^{t}dt }}$ 　　 $3$\displaystyle{\left({ {}^\bullet\limits{ }_\bullet {}^\bullet {i}^{2}=- 1 }\right)}$

$3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 4{a}^{2} \hspace{2}}{e}^{t}}$

$3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 4{a}^{2} \hspace{2}}{e}^{ i2ax }}$

したがって

$3$\displaystyle{\displaystyle{ \int x{e}^{ i2ax }dx }=- \frac{\hspace{2}i\hspace{2}}{\hspace{2} 2a \hspace{2}}{e}^{ i2ax }x+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 4{a}^{2} \hspace{2}}{e}^{ i2ax }}$

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2024年5月17日

$3$\displaystyle{\displaystyle{ \int x{e}^{ i2ax }dx }}$	$3$\displaystyle{={\displaystyle{ \int \( \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} i2a \hspace{2}}{e}^{ i2ax } \) }}^{\prime }xdx}$
	$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} i2a \hspace{2}}{e}^{ i2ax }x- \displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} i2a \hspace{2}}{e}^{ i2ax }dx }}$