1階線形微分方程式

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}+P $x$ y=Q $x$ }$ ･･････(1)

を1階線形微分方程式といい，解は

$3$\displaystyle{y={e}^{ - \displaystyle{ \int Pdx } } $ \displaystyle{ \int Q{e}^{ \displaystyle{ \int Pdx } }dx }+C $ }$

となる．

■1階線形微分方程式の解の導出

(1)の両辺に $3$\displaystyle{ {e}^{ \displaystyle{ \int Pdx } } }$ をかける．

$3$\displaystyle{{e}^{ \displaystyle{ \int Pdx } } $ \frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}+Py $ ={e}^{ \displaystyle{ \int Pdx } }Q}$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}{e}^{ \displaystyle{ \int Pdx } }+yP{e}^{ \displaystyle{ \int Pdx } }=Q{e}^{ \displaystyle{ \int Pdx } }}$ ･･････(1)

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}d\hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}} $ y{e}^{ \displaystyle{ \int Pdx } } $ =Q{e}^{ \displaystyle{ \int Pdx } }}$ ･･････(2)

(1)から(2)の式変形の説明

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}d\hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}} $ y{e}^{ \displaystyle{ \int Pdx } } $ }$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}{e}^{ \displaystyle{ \int Pdx } }+y\frac{\hspace{2}d\hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}{e}^{ \displaystyle{ \int Pdx } }}$ 　　（ $3$\displaystyle{{}^\bullet\limits{ }_\bullet {}^\bullet }$ 積の微分）

第2項を合成関数の微分をする

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}{e}^{ \displaystyle{ \int Pdx } }+y $ {e}^{ \displaystyle{ \int Pdx } }\frac{\hspace{2}d\hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}\displaystyle{ \int Pdx } $ }$

第2項の $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}d\hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}\displaystyle{ \int Pdx } }$ は不定積分の定義より $3$\displaystyle{P}$ となる

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}{e}^{ \displaystyle{ \int Pdx } }+y $ {e}^{ \displaystyle{ \int Pdx } }P $ }$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}{e}^{ \displaystyle{ \int Pdx } }+yP{e}^{ \displaystyle{ \int Pdx } }}$

(2)の両辺を積分すると

$3$\displaystyle{y{e}^{ \displaystyle{ \int Pdx } }=\displaystyle{ \int Q{e}^{ \displaystyle{ \int Pdx } }dx }+C}$

となる．両辺を $3$\displaystyle{{e}^{ \displaystyle{ \int Pdx } }}$ で割って

$3$\displaystyle{y=\frac{\hspace{2} \displaystyle{ \int Q{e}^{ \displaystyle{ \int Pdx } }dx }+C \hspace{2}}{\hspace{2} {e}^{ \displaystyle{ \int Pdx } } \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{={e}^{ - \displaystyle{ \int Pdx } } $ \displaystyle{ \int Q{e}^{ \displaystyle{ \int Pdx } }dx }+C $ }$ 　　( $3$\displaystyle{{}^\bullet\limits{ }_\bullet {}^\bullet \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}}={a}^{ - 1 }}$ 　ここを参照)

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　最終更新日： 2024年5月17日