合成関数の偏導関数の導出

2変数関 $3$\displaystyle{z=f $ x,y $ }$ で $3$\displaystyle{ x={\varphi} $ u,v $ }$ , $3$\displaystyle{ y={\psi} $ u,v $ }$ ならば，偏導関数 $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} {\partial}z \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}v \hspace{2}}}$ は

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} {\partial}z \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}v \hspace{2}}=\hspace{1}{f}_{x}\frac{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}v \hspace{2}}+\hspace{1}{f}_{y}\frac{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}v \hspace{2}}}$

となる．

■導出

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} {\partial}z \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}v \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ h\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} f $ {\varphi} \( u,v+h $ ,{\psi} $ u,v+h $ \) - f $ {\varphi} \( u,v $ ,{\psi} $ u,v $ \) \hspace{2}}{\hspace{2}h\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ h\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} f $ {\varphi} \( u,v+h $ ,{\psi} $ u,v+h $ \) - f $ {\varphi} \( u,v $ ,{\psi} $ u,v+h $ \) +f $ {\varphi} \( u,v $ ,{\psi} $ u,v+h $ \) - f $ {\varphi} \( u,v $ ,{\psi} $ u,v $ \) \hspace{2}}{\hspace{2}h\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ h\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} f $ {\varphi} \( u,v+h $ ,{\psi} $ u,v+h $ \) - f $ {\varphi} \( u,v $ ,{\psi} $ u,v+h $ \) \hspace{2}}{\hspace{2} {\varphi} $ u,v+h $ - {\varphi} $ u,v $ \hspace{2}}\frac{\hspace{2} {\varphi} $ u,v+h $ - {\varphi} $ u,v $ \hspace{2}}{\hspace{2}h\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{+{ \lim }\limits_{ h\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} f $ {\varphi} \( u,v $ ,{\psi} $ u,v+h $ \) - f $ {\varphi} \( u,v $ ,{\psi} $ u,v $ \) \hspace{2}}{\hspace{2} {\psi} $ u,v+h $ - {\psi} $ u,v $ \hspace{2}}\frac{\hspace{2} {\psi} $ u,v+h $ - {\psi} $ u,v $ \hspace{2}}{\hspace{2}h\hspace{2}}}$ ･･････(1)

(1)の右辺第1項を考える．

(1)の右辺第1項 $3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ h\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} f $ {\varphi} \( u,v+h $ ,{\psi} $ u,v+h $ \) - f $ {\varphi} \( u,v $ ,{\psi} $ u,v+h $ \) \hspace{2}}{\hspace{2} {\varphi} $ u,v+h $ - {\varphi} $ u,v $ \hspace{2}}{ \lim }\limits_{ h\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} {\varphi} $ u,v+h $ - {\varphi} $ u,v $ \hspace{2}}{\hspace{2}h\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{ {\varphi} $ u,v+h $ - {\varphi} $ u,v $ =i }$ とおくと， $3$\displaystyle{ {\varphi} $ u,v+h $ ={\varphi} $ u,v $ +i=x+i }$

$3$\displaystyle{ h\rightarrow 0 }$ ならば $3$\displaystyle{ i\rightarrow 0 }$ となる．さらに $3$\displaystyle{ {\psi} $ u,v+h $ }$ を $3$\displaystyle{{y}^{\prime }}$ に置き換えると

(1)の右辺第1項 $3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ i\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} f $ x+i,{y}^{\prime } $ - f $ x,{y}^{\prime } $ \hspace{2}}{\hspace{2}i\hspace{2}}{ \lim }\limits_{ h\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} {\varphi} $ u,v+h $ - {\varphi} $ u,v $ \hspace{2}}{\hspace{2}h\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\hspace{1}{f}_{x}\frac{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}v \hspace{2}}}$

(1)の右辺第2項を考える.

(1)の右辺第2項 $3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ h\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} f $ {\varphi} \( u,v $ ,{\psi} $ u,v+h $ \) - f $ {\varphi} \( u,v $ ,{\psi} $ u,v $ \) \hspace{2}}{\hspace{2} {\psi} $ u,v+h $ - {\psi} $ u,v $ \hspace{2}}{ \lim }\limits_{ h\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} {\psi} $ u,v+h $ - {\psi} $ u,v $ \hspace{2}}{\hspace{2}h\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{ {\psi} $ u,v+h $ - {\psi} $ u,v $ =j }$ とおくと， $3$\displaystyle{ {\psi} $ u,v+h $ ={\psi} $ u,v $ +j=y+j }$

$3$\displaystyle{ h\rightarrow 0 }$ ならば $3$\displaystyle{ j\rightarrow 0 }$ となる．さらに $3$\displaystyle{ {\varphi} $ u,v $ }$ を $3$\displaystyle{x}$ に置き換えると

(1)の右辺第2項 $3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ j\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} f $ x,y+j $ - f $ x,y $ \hspace{2}}{\hspace{2}j\hspace{2}}{ \lim }\limits_{ h\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} {\psi} $ u,v+h $ - {\psi} $ u,v $ \hspace{2}}{\hspace{2}h\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\hspace{1}{f}_{y}\frac{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}v \hspace{2}}}$

以上より

となる．

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最終更新日： 2026年4月2日