ロルの定理

関数 $3$\displaystyle{ f\left({x}\right) }$ が閉区間 $3$\displaystyle{ \left[{ a,b }\right] }$ で連続，開区間 $3$\displaystyle{ \left({ a,b }\right) }$ で微分可能で， $3$\displaystyle{ f\left({a}\right)=f\left({b}\right) }$ であるとき， $3$\displaystyle{ {f}^{\prime }\left({c}\right)=0 }$ となる $3$\displaystyle{ c\text{ }\left({ a< c< b }\right) }$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
が少なくとも1つ存在する．

■証明

I． $3$\displaystyle{ f\left({x}\right) }$ が定数関数の場合

$3$\displaystyle{ f\left({x}\right) }$ が定数関数の場合，すなわち， $3$\displaystyle{ f\left({x}\right)=k }$ ( $3$\displaystyle{k}$ は定数)なら，開区間 $3$\displaystyle{ \left({ a,b }\right) }$ で常に $3$\displaystyle{ {f}^{\prime }\left({x}\right)=0 }$ となり主張は成り立つ．

II．I 以外の場合

I 以外の場合なら，開区間 $3$\displaystyle{ \left({ a,b }\right) }$ で $3$\displaystyle{ f\left({x}\right) }$ が最大値 $3$\displaystyle{ f\left({c}\right) }$ ( $3$\displaystyle{ f\left({c}\right)> k }$ ， $3$\displaystyle{ f\left({c}\right)\geq f\left({x}\right) }$ )，あるいは，最小値 $3$\displaystyle{ f\left({c}\right) }$ ( $3$\displaystyle{ f\left({c}\right)< k }$ ， $3$\displaystyle{ f\left({c}\right)\leq f\left({x}\right) }$ )をとる $3$\displaystyle{ x=c\text{ }\left({ a< c< b }\right) }$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
が存在する．

(i) $3$\displaystyle{ x=c\text{ }\left({ a< c< b }\right) }$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
で最大値をとる場合

$3$\displaystyle{ x=c\text{ }\left({ a< c< b }\right) }$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
で最大値をとる場合， $3$\displaystyle{h}$ の正負に関わらず

$3$\displaystyle{ f\left({ c+h }\right)\leq f\left({c}\right) }$

となる．

よって， $3$\displaystyle{ h> 0 }$ なら

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} f\left({ c+h }\right)- f\left({c}\right) \hspace{2}}{\hspace{2}h\hspace{2}}\leq 0 }$

したがって，

$3$\displaystyle{ { \lim }\limits_{ h\rightarrow +0 }\frac{\hspace{2} f\left({ c+h }\right)- f\left({c}\right) \hspace{2}}{\hspace{2}h\hspace{2}}\leq 0 }$ 　･････(1)

となりる．

$3$\displaystyle{ h< 0 }$ なら

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} f\left({ c+h }\right)- f\left({c}\right) \hspace{2}}{\hspace{2}h\hspace{2}}\geq 0 }$

したがって，

$3$\displaystyle{ { \lim }\limits_{ h\rightarrow - 0 }\frac{\hspace{2} f\left({ c+h }\right)- f\left({c}\right) \hspace{2}}{\hspace{2}h\hspace{2}}\geq 0 }$ 　･････(2)

となる．

関数 $3$\displaystyle{ f\left({x}\right) }$ が閉区間 $3$\displaystyle{ \left[{ a,b }\right] }$ で連続，開区間 $3$\displaystyle{ \left({ a,b }\right) }$ で微分可能であるので $3$\displaystyle{ f\left({c}\right) }$ が存在し

$3$\displaystyle{ { \lim }\limits_{ h\rightarrow +0 }\frac{\hspace{2} f\left({ c+h }\right)- f\left({c}\right) \hspace{2}}{\hspace{2}h\hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{ ={ \lim }\limits_{ h\rightarrow - 0 }\frac{\hspace{2} f\left({ c+h }\right)- f\left({c}\right) \hspace{2}}{\hspace{2}h\hspace{2}} }$ 　･････(3)

が成り立つ．

(1)，(2)，(3)より

$3$\displaystyle{ {f}^{\prime }\left({c}\right)=0 }$

となる．

(ii) $3$\displaystyle{ x=c\text{ }\left({ a< c< b }\right) }$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
で最小値をとる場合

$3$\displaystyle{ x=c\text{ }\left({ a< c< b }\right) }$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
で最小値をとる場合， $3$\displaystyle{h}$ の正負に関わらず

$3$\displaystyle{ f\left({ c+h }\right)\geq f\left({c}\right) }$

となる．よって， $3$\displaystyle{ h> 0 }$ なら

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} f\left({ c+h }\right)- f\left({c}\right) \hspace{2}}{\hspace{2}h\hspace{2}}\geq 0 }$

したがって，

$3$\displaystyle{ { \lim }\limits_{ h\rightarrow +0 }\frac{\hspace{2} f\left({ c+h }\right)- f\left({c}\right) \hspace{2}}{\hspace{2}h\hspace{2}}\geq 0 }$ 　･････(4)

となり， $3$\displaystyle{ h< 0 }$ なら

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} f\left({ c+h }\right)- f\left({c}\right) \hspace{2}}{\hspace{2}h\hspace{2}}\leq 0 }$

となる．したがって，

$3$\displaystyle{ { \lim }\limits_{ h\rightarrow - 0 }\frac{\hspace{2} f\left({ c+h }\right)- f\left({c}\right) \hspace{2}}{\hspace{2}h\hspace{2}}\leq 0 }$ 　･････(5)

となる．

関数 $3$\displaystyle{ f\left({x}\right) }$ 閉区間 $3$\displaystyle{ \left[{ a,b }\right] }$ で連続，開区間 $3$\displaystyle{ \left({ a,b }\right) }$ で微分可能であるので $3$\displaystyle{ {f}^{\prime }\left({c}\right) }$ が存在し

が成り立つ．

(4)，(5)，(6)より

$3$\displaystyle{ {f}^{\prime }\left({c}\right)=0 }$

となる．

以上より，定理が成り立つ．

【参考図書】
・基礎課程　解析学　編者：水野克比古　出版社：株式会社学術図書出版
・Calculus 7E 著者：James Stewart　出版社：Brooks/Cole Pub Co

ホーム>>カテゴリー分類>>微分>>ロルの定理

最終更新日： 2024年5月17日

ロルの定理

■証明

I． が定数関数の場合

II．I 以外の場合

(i) TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。 で最大値をとる場合

(ii) TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。 で最小値をとる場合

I． $3$\displaystyle{ f\left({x}\right) }$ が定数関数の場合

(i) $3$\displaystyle{ x=c\text{ }\left({ a< c< b }\right) }$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
で最大値をとる場合

(ii) $3$\displaystyle{ x=c\text{ }\left({ a< c< b }\right) }$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
で最小値をとる場合