複素数の積分

複素平面上の2点 $3$\displaystyle{P}$ ， $3$\displaystyle{Q}$ を結ぶ経路 $3$\displaystyle{C}$ があり，経路 $3$\displaystyle{C}$ が経路 $3$\displaystyle{C}$ 上の $3$\displaystyle{n- 1}$ 個の点で $3$\displaystyle{n\text{\hspace{1} }}$ 個に分割されているとする．点 $3$\displaystyle{P}$ 側から $3$\displaystyle{n- 1}$ 個の点を $3$\displaystyle{\hspace{1}{P}_{1}}$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{P}_{2}}$ ， $3$\displaystyle{\cdots }$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{P}_{ n- 1 }}$ とし，点 $3$\displaystyle{P}$ を $3$\displaystyle{\hspace{1}{P}_{0}}$ ，点 $3$\displaystyle{Q}$ を $3$\displaystyle{\hspace{1}{P}_{n}}$ とも呼ぶことにする．経路 $3$\displaystyle{C}$ 上の一部 $3$\displaystyle{\hspace{1}{P}_{ i- 1 }}$ と $3$\displaystyle{\hspace{1}{P}_{i} $ i=1,2,\cdots ,n $ }$ の間の経路上に点 $3$\displaystyle{\hspace{1}{C}_{i}}$ がある．

点 $3$\displaystyle{\hspace{1}{P}_{i}}$ の複素数の値を $3$\displaystyle{\hspace{1}{z}_{i}}$ ，点 $3$\displaystyle{\hspace{1}{C}_{i}}$ の複素数の値を $3$\displaystyle{\hspace{1}{c}_{i}}$ とする．

複素関数 $3$\displaystyle{ f $z$ }$ において

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }{\sum }\limits_{ k=1 }^{n} f $ \hspace{1}{c}_{i} $ {\Delta}\hspace{1}{z}_{i} }$

(ただし， $3$\displaystyle{{\Delta}\hspace{1}{z}_{i}=\hspace{1}{z}_{i}- \hspace{1}{z}_{ i- 1 }}$ )

の値を

$3$\displaystyle{{\int }\limits_{C} f $z$ dz }$

と表し，経路 $3$\displaystyle{C}$ に沿う積分と定義する． $3$\displaystyle{C}$ を積分経路という．

曲線 $3$\displaystyle{C\text{\hspace{1} }}$ が滑らかな曲線で

$3$\displaystyle{z\text{\hspace{1} }=x+iy\text{\hspace{1} }=x $t$ +iy $t$ =z\text{\hspace{1} } $t$ }$

$3$\displaystyle{f $z$ =u $ x,y $ +iv $ x,y $ }$

と表すことにすると

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\int }_{C} f $z$ dz \text{\hspace{1} }}$ $3$\displaystyle{=\hspace{1}{\int }_{C}\text{\hspace{1} } \{ $ u+iv $ $ dx+idy $ \} }$

$3$\displaystyle{=\hspace{1}{\int }_{C}\text{\hspace{1} } $ udx+iudy+ivdx- vdy $ }$

$3$\displaystyle{=\hspace{1}{\int }_{C}\text{\hspace{1} } \{ udx- vdy+i\text{\hspace{1} } $ udy+vdx $ \} }$

$3$\displaystyle{=\hspace{1}{\int }_{C}\text{\hspace{1} } $ udx- vdy $ +i\hspace{1}{\int }_{C}\text{\hspace{1} } $ udy+vdx $ }$

$3$\displaystyle{ =\int _{{\alpha}}^{{\beta}}\text{\hspace{1} } $ u\frac{\hspace{2} dx \hspace{2}}{\hspace{2} dt \hspace{2}}- v\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dt \hspace{2}} $ dt }$ $3$\displaystyle{ + i\int _{{\alpha}}^{{\beta}}\text{\hspace{1} } $ u\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dt \hspace{2}}+ v\frac{\hspace{2} dx \hspace{2}}{\hspace{2} dt \hspace{2}} $ dt }$

（ただし $3$\displaystyle{\hspace{1}{z}_{0}=z ${\alpha}$ \text{\hspace{1} },\text{\hspace{1} }\hspace{1}{z}_{n}=z ${\beta}$ \text{\hspace{1} }}$ ）

となる．

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最終更新日： 2023年2月28日