円の方程式(複素平面)

● 複素平面上において，原点Oを中心とする半径 $3$\displaystyle{r}$ の円の方程式

　複素数を $3$\displaystyle{ z=x+yi }$ とすると

$3$\displaystyle{ \|z\| =r }$ （ $3$\displaystyle{ r=\sqrt{ {x}^{2}+{y}^{2} } }$ ）

極形式で表すと

$3$\displaystyle{z=r $ \cos {\theta}+i\sin {\theta} $ }$

となる．

● 複素平面上において，点C（ $3$\displaystyle{{\alpha}=a+bi}$ ）を中心とする半径 $3$\displaystyle{r}$ の円の方程式

複素数を $3$\displaystyle{ z=x+yi }$ とすると

$3$\displaystyle{ \mid z- {\alpha} \mid =r }$

$3$\displaystyle{ \mid $ x- yi $ - $ a+ bi $ \mid =r }$

$3$\displaystyle{ \mid $ x- a $ + $ y- b $ i \mid =r }$

ただし， $3$\displaystyle{ $ r=\sqrt{ { \( x- a $ }^{2}+ { $ y- b $ }^{2} } \) }$

となる．

● 複素平面において，点A（ $3$\displaystyle{ {\alpha}=a+bi }$ ）と点B（ $3$\displaystyle{{\beta}=c+di}$ ）があり，線分ABを直径とする円の方程式

　複素数を $3$\displaystyle{ z=x+yi }$ とすると

$3$\displaystyle{arg\frac{\hspace{2} z- {\alpha} \hspace{2}}{\hspace{2} z- {\beta} \hspace{2}}=\pm 90^\circ }$

（円周角の定理と複素数平面での2直線のなす角を参照）

あるいは

円の中心が $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} {\alpha}+{\beta} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$ ，円の半径が $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} \| {\alpha}- {\beta} \| \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$ となるので

$3$\displaystyle{ \| z- \frac{\hspace{2} {\alpha}+{\beta} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} \| =\frac{\hspace{2} \| {\alpha}- {\beta} \| \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

と表すこともできる．

【参考】円の方程式

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最終更新日： 2025年11月25日

円の方程式(複素平面)

● 複素平面上において，原点Oを中心とする半径 の 円の方程式

● 複素平面上において，点C（ ）を中心とする半径 の 円の方程式

● 複素平面において，点A（ ）と点B（ ）があり，線分ABを直径とする円の方程式

● 複素平面上において，原点Oを中心とする半径 $3$\displaystyle{r}$ の円の方程式

● 複素平面上において，点C（ $3$\displaystyle{{\alpha}=a+bi}$ ）を中心とする半径 $3$\displaystyle{r}$ の円の方程式

● 複素平面において，点A（ $3$\displaystyle{ {\alpha}=a+bi }$ ）と点B（ $3$\displaystyle{{\beta}=c+di}$ ）があり，線分ABを直径とする円の方程式