複素数の実数倍

図1

複素数 $3$z=a+ib$ を $3$k$ 倍（ $3$k$ は実数）した $3$ kz$ は

$3$\displaystyle{kz=k\left({ a+bi }\right)}$ $3$\displaystyle{=ka+kbi}$

となる．複素平面で点 $3$\text{P}\left({z}\right)$ ，点 $3$\text{Q}\left({ kz }\right)$ を表すと図のようになり，原点 $3$\text{O}$ ，点 $3$\text{P}\left({z}\right)$ ，点 $3$\text{Q}\left({ kz }\right)$ は，原点 $3$\text{O}$ を通る直線上にある．

$3$\displaystyle{\left|{ kz }\right|=\sqrt{ { \left({ ka }\right) }^{2}+{ \left({ kb }\right) }^{2} }}$ $3$\displaystyle{=\left|{k}\right|\sqrt{ {a}^{2}+{b}^{2} }}$ $3$\displaystyle{=\left|{k}\right|\left|{z}\right|}$

となり， $3$\displaystyle{ kz }$ の絶対値は $3$z$ の絶対値の $3$\left|{k}\right|$ 倍になる．言い換えると，線分 $3$\text{OQ}$ の長さは，線分 $3$\text{OP}$ の長さの $3$\left|{k}\right|$ 倍である．

■解説

点 $3$\displaystyle{\text{P}\left({z}\right)}$ から $3$x$ 軸に垂線を下ろし $3$x$ 軸との交点を $3$\displaystyle{\text{R}\left({a}\right)}$ とし，点 $3$\displaystyle{\text{Q}\left({ kz }\right)}$ から $3$x$ 軸に垂線を下ろし $3$x$ 軸との交点を $3$\displaystyle{\text{S}\left({ ka }\right)}$ とする．図1は $3$k> 0$ の場合，図2は $3$\displaystyle{k< 0}$ になる．いずれの場合も

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} \text{OQ} \hspace{2}}{\hspace{2} \text{OP} \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} \text{OS} \hspace{2}}{\hspace{2} \text{OR} \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} \text{QS} \hspace{2}}{\hspace{2} \text{PR} \hspace{2}}=\left|{k}\right|}$

となり

$3$\triangle \text{OPR}$ ∽ $3$\triangle \text{OQS}$

である．よって

$3$\displaystyle{\angle \text{POR=}\angle \text{QOS}}$

となり，原点と点 $3$\text{P}$ を通る直線の傾きと，原点と点 $3$\text{Q}$ を通る直線の傾きが等しくなる．じたがって

原点 $3$\text{O}$ ，点 $3$\text{P}\left({z}\right)$ ，点 $3$\text{Q}\left({ kz }\right)$ は，原点 $3$\text{O}$ を通る直線上にある．

といえる．

図2
図3

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最終更新日： 2025年11月27日