成分が複素数の場合の内積(n次元ベクトル)

ベクトルの成分を実数から複素数に拡張した場合，内積の定義は以下のようになる．(参考：成分が実数の場合の内積)

$3$\displaystyle{\displaystyle{a}=\left({ \begin{array} \hspace{1}{a}_{1} & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{2} & \vspace{6}\\ \vdots & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{n} & \vspace{6}\\ \end{array} }\right)}$ ， $3$\displaystyle{\displaystyle{b}=\left({ \begin{array} \hspace{1}{b}_{1} & \vspace{6}\\ \hspace{1}{b}_{2} & \vspace{6}\\ \vdots & \vspace{6}\\ \hspace{1}{b}_{n} & \vspace{6}\\ \end{array} }\right)}$ 　( $3$\displaystyle{\hspace{1}{a}_{i}}$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{a}_{i}}$ は複素数)

において

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{a}_{1}\bar{ \hspace{1}{b}_{1} }+\hspace{1}{a}_{2}\bar{ \hspace{1}{b}_{2} }+\cdots \hspace{1}{a}_{n}\bar{ \hspace{1}{b}_{n} }={\displaystyle{\sum }}\limits_{ i=1 }^{n}\hspace{1}{a}_{i}\bar{ \hspace{1}{b}_{i} } }$

となる値を， $3$\displaystyle{\displaystyle{a}}$ ， $3$\displaystyle{\displaystyle{b}}$ の内積と定義し

$3$\displaystyle{\displaystyle{a}\cdot \displaystyle{b}}$

で表す．すなわち

$3$\displaystyle{ \displaystyle{a}\cdot \displaystyle{b}={\displaystyle{\sum }}\limits_{ i=1 }^{n}\hspace{1}{a}_{i}\bar{ \hspace{1}{b}_{i} } }$ 　･･････(1)

となる．内積を行列の計算表現を使うと

$3$\displaystyle{ \displaystyle{a}\cdot \displaystyle{b}=\hspace{1}{}_{}^{}\displaystyle{a}b_{}^{}t \bar{\displaystyle{}}}$ $3$\displaystyle{ =\left({ \begin{array} \hspace{1}{a}_{1} & \hspace{1}{a}_{2} &\cdots & \hspace{1}{a}_{n} & \vspace{6}\\ \end{array} }\right)\left({ \begin{array} \bar{ \hspace{1}{b}_{1} } & \vspace{6}\\ \bar{ \hspace{1}{b}_{2} } & \vspace{6}\\ \vdots & \vspace{6}\\ \bar{ \hspace{1}{b}_{n} } & \vspace{6}\\ \end{array} }\right) }$

となる．

行ベクトルでも列ベクトルと同様に内積は(1)で定義される．

内積については次の法則が成り立つ．

(i) $3$\displaystyle{\displaystyle{a}\cdot \displaystyle{b}=\bar{ \displaystyle{b}\cdot \displaystyle{a} }}$

(∵ $3$\displaystyle{\displaystyle{a}\cdot \displaystyle{b}=\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} \hspace{1}{a}_{i}\bar{ \hspace{1}{b}_{i} } }}$ $3$\displaystyle{=\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} \bar{ \hspace{1}{b}_{i} }\hspace{1}{a}_{i} }}$ $3$\displaystyle{=\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} \bar{ \hspace{1}{b}_{i} }\bar{ \left({ \bar{ \hspace{1}{a}_{i} } }\right) } }}$ $3$\displaystyle{=\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} \bar{ \hspace{1}{b}_{i}\left({ \bar{ \hspace{1}{a}_{i} } }\right) } }}$ $3$\displaystyle{=\bar{ \displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} \hspace{1}{b}_{i}\left({ \bar{ \hspace{1}{a}_{i} } }\right) } }}$ $3$\displaystyle{=\bar{ \displaystyle{b}\cdot \displaystyle{a} }}$ )

(ii) $3$\displaystyle{\left({ \displaystyle{a}+\displaystyle{b} }\right)\cdot \displaystyle{c}=\displaystyle{a}\cdot \displaystyle{c}+\displaystyle{b}\cdot \displaystyle{c}}$

(iii) $3$\displaystyle{\left({ k\displaystyle{a} }\right)\cdot \displaystyle{b}=\displaystyle{a}\cdot \left({ \bar{k}\displaystyle{b} }\right)=k\left({ \displaystyle{a}\cdot \displaystyle{b} }\right)}$

(∵ $3$\displaystyle{\left({ k\displaystyle{a} }\right)\cdot \displaystyle{b}=\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} \left({ k\hspace{1}{a}_{i} }\right)\bar{ \hspace{1}{b}_{i} } }\text{\hspace{1}}}$ $3$\displaystyle{=\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} \hspace{1}{a}_{i}\left({ k\bar{ \hspace{1}{b}_{i} } }\right) }}$ $3$\displaystyle{=\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} \hspace{1}{a}_{i}\bar{ \left({ \bar{k}\hspace{1}{b}_{i} }\right) } }}$ $3$\displaystyle{=\displaystyle{a}\cdot \left({ \bar{k}\displaystyle{b} }\right)}$
$3$\displaystyle{\left({ k\displaystyle{a} }\right)\cdot \displaystyle{b}=\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} \left({ k\hspace{1}{a}_{i} }\right)\bar{ \hspace{1}{b}_{i} } }}$ $3$\displaystyle{=k\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} \hspace{1}{a}_{i}\bar{ \hspace{1}{b}_{i} } }}$ $3$\displaystyle{=k\left({ \displaystyle{a}\cdot \displaystyle{b} }\right)}$ )

(iv) $3$\displaystyle{\displaystyle{a}\cdot \displaystyle{a}\geq 0}$ ，特に， $3$\displaystyle{\displaystyle{a}\cdot \displaystyle{a}=0\Leftrightarrow \displaystyle{a}=\displaystyle{0}}$

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最終更新日：2022年9月3日