固有空間

正方行列 $3$\displaystyle{A}$ の固有値 $3$\displaystyle{{\lambda}}$ に対応する固有ベクトル $3$\displaystyle{\displaystyle{x}}$ の全体に $3$\displaystyle{\text{0}}$ （ゼロベクトル）を付け加えた集合全体を固有値 $3$\displaystyle{{\lambda}}$ に対する固有空間という．

■具体例

$3$\displaystyle{\left({ \begin{array}1&3& \vspace{6}\\ 2&2& \vspace{6}\\ \end{array} }\right)}$ の固有値，固有ベクトル，固有空間を求める．

●固有値 $3$\displaystyle{{\lambda}}$ を求める

固有方程式は

$3$\displaystyle{\left|{ \begin{array} 1- {\lambda} &3& \vspace{6}\\ 2& 2- {\lambda} & \vspace{6}\\ \end{array} }\right|=0}$

となる．これを解く．

$3$\displaystyle{\left({ 1- {\lambda} }\right)\left({ 2- {\lambda} }\right)- 3\cdot 2=0}$

$3$\displaystyle{2- 3{\lambda}+{{\lambda}}^{2}- 6=0}$

$3$\displaystyle{{{\lambda}}^{2}- 3{\lambda}- 4=0}$

$3$\displaystyle{\left({ {\lambda}+1 }\right)\left({ {\lambda}- 4 }\right)=0}$

$3$\displaystyle{{\lambda}=- 1,4}$

固有値 $3$\displaystyle{{\lambda}}$ は $3$\displaystyle{- 1}$ ， $3$\displaystyle{4}$ である．

●固有ベクトル $3$\displaystyle{\displaystyle{x}}$ を求める．

固有値，固有ベクトルの定義で用いた式

$3$\displaystyle{A\displaystyle{x}={\lambda}\displaystyle{x}}$ 　･･････(1)

を式変形し

$3$\displaystyle{\left({ A- {\lambda}E }\right)\displaystyle{x}=\text{0}}$ 　･･････(2)

とする． $3$\displaystyle{A=\left({ \begin{array}1&3& \vspace{6}\\ 2&2& \vspace{6}\\ \end{array} }\right)}$ ， $3$\displaystyle{\displaystyle{x}=\left({ \begin{array} \hspace{1}{x}_{1} & \vspace{6}\\ \hspace{1}{x}_{2} & \vspace{6}\\ \end{array} }\right)}$ であるので，（2）は

$3$\displaystyle{\left({ \begin{array} 1- {\lambda} &3& \vspace{6}\\ 2& 2- {\lambda} & \vspace{6}\\ \end{array} }\right)\left({ \begin{array} \hspace{1}{x}_{1} & \vspace{6}\\ \hspace{1}{x}_{2} & \vspace{6}\\ \end{array} }\right)=\left({ \begin{array}0& \vspace{6}\\ 0& \vspace{6}\\ \end{array} }\right)}$

$3$\displaystyle{\left{{\begin{array}{lll}\left({ 1- {\lambda} }\right)\hspace{1}{x}_{1}+3\hspace{1}{x}_{2}=0& \vspace{6}\\ 2\hspace{1}{x}_{1}+\left({ 2- {\lambda} }\right)\hspace{1}{x}_{2}=0& \vspace{6}\\ \end{array}}$ 　･･････(3)

となる．(3)に固有値 $3$\displaystyle{{\lambda}}$ を代入し，固有ベクトルを求める．

・ $3$\displaystyle{{\lambda}=- 1}$ に対応する固有ベクトル $3$\displaystyle{\displaystyle{x}}$ と固有空間 $3$\displaystyle{W}$ を求める

(3)に $3$\displaystyle{{\lambda}=- 1}$ を代入し，掃き出し法で $3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{1}}$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{2}}$ を求める．定数項は省略している．

$3$\displaystyle{\left({ \begin{array} \left({ 1- \left({ - 1 }\right) }\right) &3& \vspace{6}\\ 2& 2- \left({ - 1 }\right) & \vspace{6}\\ \end{array} }\right)}$ $3$\displaystyle{\rightarrow \left({ \begin{array}2&3& \vspace{6}\\ 2&3& \vspace{6}\\ \end{array} }\right)}$ $3$\displaystyle{\rightarrow \left({ \begin{array}2&3& \vspace{6}\\ 0&0& \vspace{6}\\ \end{array} }\right)}$ $3$\displaystyle{\rightarrow \left({ \begin{array}1& \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} & \vspace{6}\\ 0&0& \vspace{6}\\ \end{array} }\right)}$

よって，

$3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{1}+\frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\hspace{1}{x}_{2}=0}$

$3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{2}=2c}$ （ $3$\displaystyle{c}$ は0でない任意定数）とおくと

$3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{1}=- \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\hspace{1}{x}_{2}=- \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\cdot 2c=- 3c}$

よって，固有ベクトル $3$\displaystyle{\displaystyle{x}}$ は

$3$\displaystyle{\displaystyle{x}=\left({ \begin{array} \hspace{1}{x}_{1} & \vspace{6}\\ \hspace{1}{x}_{2} & \vspace{6}\\ \end{array} }\right)=\left({ \begin{array} - 3c & \vspace{6}\\ 2c & \vspace{6}\\ \end{array} }\right)=c\left({ \begin{array} - 3 & \vspace{6}\\ 2& \vspace{6}\\ \end{array} }\right)}$ 　（ $3$\displaystyle{c\neq 0}$ としているのは， $3$\displaystyle{\displaystyle{x}\neq \text{0}}$ のためである．）

となる．

固有空間 $3$\displaystyle{W}$ は

$3$\displaystyle{W=\left{{ \displaystyle{x}\left|{ \displaystyle{x}={c}^{\prime }\left({ \begin{array} - 3 & \vspace{6}\\ 2& \vspace{6}\\ \end{array} }\right),{c}^{\prime }\in \displaystyle{R} }\right}}$

となる．

・ $3$\displaystyle{{\lambda}=4}$ に対応する固有ベクトル $3$\displaystyle{\displaystyle{x}}$ と固有空間 $3$\displaystyle{W}$ を求める

(3)に $3$\displaystyle{{\lambda}=4}$ を代入し，掃き出し法で $3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{1}}$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{2}}$ を求める．定数項は省略している．

$3$\displaystyle{\left({ \begin{array} \left({ 1- 4 }\right) &3& \vspace{6}\\ 2& \left({ 2- 4 }\right) & \vspace{6}\\ \end{array} }\right)}$ $3$\displaystyle{\left({ \begin{array} - 3 &3& \vspace{6}\\ 2& - 2 & \vspace{6}\\ \end{array} }\right)}$ $3$\displaystyle{\rightarrow \left({ \begin{array} - 1 &1& \vspace{6}\\ 1& - 1 & \vspace{6}\\ \end{array} }\right)}$ $3$\displaystyle{\rightarrow \left({ \begin{array}1&1& \vspace{6}\\ 0&0& \vspace{6}\\ \end{array} }\right)}$

よって，

$3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{1}- \hspace{1}{x}_{2}=0}$

$3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{2}=c}$ （ $3$\displaystyle{c}$ は0でない任意定数）とおくと

$3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{1}=\hspace{1}{x}_{2}=c}$

よって，固有ベクトル $3$\displaystyle{\displaystyle{x}}$ は

$3$\displaystyle{\displaystyle{x}=\left({ \begin{array} \hspace{1}{x}_{1} & \vspace{6}\\ \hspace{1}{x}_{2} & \vspace{6}\\ \end{array} }\right)=\left({ \begin{array}c& \vspace{6}\\ c& \vspace{6}\\ \end{array} }\right)=c\left({ \begin{array}1& \vspace{6}\\ 1& \vspace{6}\\ \end{array} }\right)}$ 　（ $3$\displaystyle{c\neq 0}$ としているのは， $3$\displaystyle{\displaystyle{x}\neq \text{0}}$ のためである．）

となる．

固有空間 $3$\displaystyle{W}$ は

$3$\displaystyle{W=\left{{ \displaystyle{x}\left|{ \displaystyle{x}={c}^{\prime }\left({ \begin{array}1& \vspace{6}\\ 1& \vspace{6}\\ \end{array} }\right),{c}^{\prime }\in \displaystyle{R} }\right}}$

となる．

ホーム>>カテゴリー分類>>行列>>線形代数>>固有空間

最終更新日：2022年7月21日

固有空間

■具体例

●固有値 を求める

●固有ベクトル を求める．

・ に対応する固有ベクトルと固有空間を求める

・ に対応する固有ベクトルと固有空間を求める

●固有値 $3$\displaystyle{{\lambda}}$ を求める

●固有ベクトル $3$\displaystyle{\displaystyle{x}}$ を求める．

・ $3$\displaystyle{{\lambda}=- 1}$ に対応する固有ベクトル $3$\displaystyle{\displaystyle{x}}$ と固有空間 $3$\displaystyle{W}$ を求める

・ $3$\displaystyle{{\lambda}=4}$ に対応する固有ベクトル $3$\displaystyle{\displaystyle{x}}$ と固有空間 $3$\displaystyle{W}$ を求める