行列の計算則積について(1)

$3$\displaystyle{A}$ が $3$\displaystyle{l\times m}$ 行列， $3$\displaystyle{B}$ が $3$\displaystyle{m\times n}$ 行列ならば

$3$\displaystyle{ $ \alpha A $ B=\alpha $ AB $ =A $ \alpha B $ }$

■証明

$3$\displaystyle{A= $ \begin{array} \hspace{1}{a}_{ 11 } & \hspace{1}{a}_{ 12 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ 1m } & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ 21 } & \hspace{1}{a}_{ 22 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ 2m } & \vspace{6}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ l1 } & \hspace{1}{a}_{ l2 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ lm } & \vspace{6}\\ \end{array} $ }$ ， $3$\displaystyle{B= $ \begin{array} \hspace{1}{b}_{ 11 } & \hspace{1}{b}_{ 12 } &\cdots & \hspace{1}{b}_{ 1n } & \vspace{6}\\ \hspace{1}{b}_{ 21 } & \hspace{1}{b}_{ 22 } &\cdots & \hspace{1}{b}_{ 2n } & \vspace{6}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots & \vspace{6}\\ \hspace{1}{b}_{ m1 } & \hspace{1}{b}_{ m2 } &\cdots & \hspace{1}{b}_{ mn } & \vspace{6}\\ \end{array} $ }$

とし，

$3$\displaystyle{ \alpha A= $ \begin{array} \alpha \hspace{1}{a}_{ 11 } & \alpha \hspace{1}{a}_{ 12 } &\cdots & \alpha \hspace{1}{a}_{ 1m } & \vspace{6}\\ \alpha \hspace{1}{a}_{ 21 } & \alpha \hspace{1}{a}_{ 22 } &\cdots & \alpha \hspace{1}{a}_{ 2m } & \vspace{6}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots & \vspace{6}\\ \alpha \hspace{1}{a}_{ l1 } & \alpha \hspace{1}{a}_{ l2 } &\cdots & \alpha \hspace{1}{a}_{ lm } & \vspace{6}\\ \end{array} $ }$ $3$\displaystyle{ = $ \begin{array} \hspace{1}{{a}^{\prime }}_{ 11 } & \hspace{1}{{a}^{\prime }}_{ 12 } &\cdots & \hspace{1}{{a}^{\prime }}_{ 1m } & \vspace{6}\\ \hspace{1}{{a}^{\prime }}_{ 21 } & \hspace{1}{{a}^{\prime }}_{ 22 } &\cdots & \hspace{1}{{a}^{\prime }}_{ 2m } & \vspace{6}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots & \vspace{6}\\ \hspace{1}{{a}^{\prime }}_{ l1 } & \hspace{1}{{a}^{\prime }}_{ l2 } &\cdots & \hspace{1}{{a}^{\prime }}_{ lm } & \vspace{6}\\ \end{array} $ }$

$3$\displaystyle{ \alpha B= $ \begin{array} \alpha \hspace{1}{b}_{ 11 } & \alpha \hspace{1}{b}_{ 12 } &\cdots & \alpha \hspace{1}{b}_{ 1n } & \vspace{6}\\ \alpha \hspace{1}{b}_{ 21 } & \alpha \hspace{1}{b}_{ 22 } &\cdots & \alpha \hspace{1}{b}_{ 2n } & \vspace{6}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots & \vspace{6}\\ \alpha \hspace{1}{b}_{ m1 } & \alpha \hspace{1}{b}_{ m2 } &\cdots & \alpha \hspace{1}{b}_{ mn } & \vspace{6}\\ \end{array} $ }$ $3$\displaystyle{ = $ \begin{array} \hspace{1}{{b}^{\prime }}_{ 11 } & \hspace{1}{{b}^{\prime }}_{ 12 } &\cdots & \hspace{1}{{b}^{\prime }}_{ 1n } & \vspace{6}\\ \hspace{1}{{b}^{\prime }}_{ 21 } & \hspace{1}{{b}^{\prime }}_{ 22 } &\cdots & \hspace{1}{{b}^{\prime }}_{ 2n } & \vspace{6}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots & \vspace{6}\\ \hspace{1}{{b}^{\prime }}_{ m1 } & \hspace{1}{{b}^{\prime }}_{ m2 } &\cdots & \hspace{1}{{b}^{\prime }}_{ mn } & \vspace{6}\\ \end{array} $ }$

とする．(行列のスカラー倍を参照)

$3$\displaystyle{ $ \alpha A $ B= $ \begin{array} \hspace{1}{{a}^{\prime }}_{ 11 } & \hspace{1}{{a}^{\prime }}_{ 12 } &\cdots & \hspace{1}{{a}^{\prime }}_{ 1m } & \vspace{6}\\ \hspace{1}{{a}^{\prime }}_{ 21 } & \hspace{1}{{a}^{\prime }}_{ 22 } &\cdots & \hspace{1}{{a}^{\prime }}_{ 2m } & \vspace{6}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots & \vspace{6}\\ \hspace{1}{{a}^{\prime }}_{ l1 } & \hspace{1}{{a}^{\prime }}_{ l2 } &\cdots & \hspace{1}{{a}^{\prime }}_{ lm } & \vspace{6}\\ \end{array} $ $ \begin{array} \hspace{1}{b}_{ 11 } & \hspace{1}{b}_{ 12 } &\cdots & \hspace{1}{b}_{ 1n } & \vspace{6}\\ \hspace{1}{b}_{ 21 } & \hspace{1}{b}_{ 22 } &\cdots & \hspace{1}{b}_{ 2n } & \vspace{6}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots & \vspace{6}\\ \hspace{1}{b}_{ m1 } & \hspace{1}{b}_{ m2 } &\cdots & \hspace{1}{b}_{ mn } & \vspace{6}\\ \end{array} $ }$

$3$\displaystyle{ $ \alpha A $ B}$ の $3$\displaystyle{ $ i,j $ }$ 成分 $3$\displaystyle{\hspace{1}{c}_{ ij }}$ は，行列の積の定義より

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{c}_{ ij }={\displaystyle{\sum }}\limits_{ k=1 }^{m}\hspace{1}{{a}^{\prime }}_{ ik }\hspace{1}{b}_{ kj }={\displaystyle{\sum }}\limits_{ k=1 }^{m} $ \alpha \hspace{1}{a}_{ ik } $ \hspace{1}{b}_{ kj } }$ $3$\displaystyle{ =\alpha {\displaystyle{\sum }}\limits_{ k=1 }^{m}\hspace{1}{a}_{ ik }\hspace{1}{b}_{ kj } }$ ……(1)

$3$\displaystyle{\alpha $ AB $ }$ の $3$\displaystyle{ $ i,j $ }$ 成分 $3$\displaystyle{\hspace{1}{d}_{ ij }}$ は，行列の積の定義より

$3$\displaystyle{\hspace{1}{d}_{ ij }=\alpha \displaystyle{{\sum }\limits_{ k=1 }^{m} \hspace{1}{a}_{ ik }\hspace{1}{b}_{ kj } }}$ ……(2)

$3$\displaystyle{A $ \alpha B $ = $ \begin{array} \hspace{1}{a}_{ 11 } & \hspace{1}{a}_{ 12 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ 1m } & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ 21 } & \hspace{1}{a}_{ 22 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ 2m } & \vspace{6}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ l1 } & \hspace{1}{a}_{ l2 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ lm } & \vspace{6}\\ \end{array} $ $ \begin{array} \hspace{1}{{b}^{\prime }}_{ 11 } & \hspace{1}{{b}^{\prime }}_{ 12 } &\cdots & \hspace{1}{{b}^{\prime }}_{ 1n } & \vspace{6}\\ \hspace{1}{{b}^{\prime }}_{ 21 } & \hspace{1}{{b}^{\prime }}_{ 22 } &\cdots & \hspace{1}{{b}^{\prime }}_{ 2n } & \vspace{6}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots & \vspace{6}\\ \hspace{1}{{b}^{\prime }}_{ m1 } & \hspace{1}{{b}^{\prime }}_{ m2 } &\cdots & \hspace{1}{{b}^{\prime }}_{ mn } & \vspace{6}\\ \end{array} $ }$

$3$\displaystyle{A $ \alpha B $ }$ の $3$\displaystyle{ $ i,j $ }$ 成分 $3$\displaystyle{\hspace{1}{e}_{ ij }}$ は，行列の積の定義より

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{e}_{ ij }={\displaystyle{\sum }}\limits_{ k=1 }^{m}\hspace{1}{a}_{ ik }\hspace{1}{{b}^{\prime }}_{ kj }={\displaystyle{\sum }}\limits_{ k=1 }^{m}\hspace{1}{a}_{ ik } $ \alpha \hspace{1}{b}_{ kj } $ }$ $3$\displaystyle{ =\alpha {\displaystyle{\sum }}\limits_{ k=1 }^{m}\hspace{1}{a}_{ ik }\hspace{1}{b}_{ kj } }$ ……(3)

$3$\displaystyle{ $1$ }$ ， $3$\displaystyle{ $2$ }$ ， $3$\displaystyle{ $3$ }$ より

$3$\displaystyle{\hspace{1}{c}_{ ij }=\hspace{1}{d}_{ ij }=\hspace{1}{e}_{ ij }}$

となり

$3$\displaystyle{ $ \alpha A $ B=\alpha $ AB $ =A $ \alpha B $ }$

が成り立つ．

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最終更新日： 2022年8月27日

行列の計算則 積について(1)

■証明

行列の計算則積について(1)