行列式の計算手順2

■余因子展開を利用する場合の手順

行列式の性質を利用して，ある行，またはある列の成分をできるだけ0にする．
その後，0である成分の多い行，または列で余因子展開する．

■余因子展開を利用した場合

$3$\displaystyle{ \| \begin{array}4&0&1&8& \vspace{6}\\ 1&2&0&4& \vspace{6}\\ 2&1&6&0& \vspace{6}\\ 0&4&1&2& \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

2列目の3行目の成分以外を0にするために，行列式の計算則を用いて，2行+3行×(-2)，4行+3行×(-4)の計算をする．

$3$\displaystyle{= \| \begin{array}4&0&1&8& \vspace{6}\\ 1+2\times \left({ - 2 }\right) & 2+1\times \left({ - 2 }\right) & 0+6\times \left({ - 2 }\right) & 4+0\times \left({ - 2 }\right) & \vspace{6}\\ 2&1&6&0& \vspace{6}\\ 0+2\times \left({ - 4 }\right) & 4+1\times \left({ - 4 }\right) & 1+6\times \left({ - 4 }\right) & 2+0\times \left({ - 4 }\right) & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

$3$\displaystyle{= \| \begin{array}4&0&1&8& \vspace{6}\\ - 3 &0& - 12 &4& \vspace{6}\\ 2&1&6&0& \vspace{6}\\ - 8 &0& - 23 &2& \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

2列目で余因子展開をする．

$3$\displaystyle{={ $ - 1 $ }^{ 3+2 } \| \begin{array}4&1&8& \vspace{6}\\ - 3 & - 12 &4& \vspace{6}\\ - 8 & - 23 &2& \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

行列式を簡単にするために，行列式の計算則を用いて3行＋2行×(-2)，の計算をする．

$3$\displaystyle{= $ - 1 $ \| \begin{array}4&1&8& \vspace{6}\\ - 3 & - 12 &4& \vspace{6}\\ - 8+ $ - 3 $ \times \left({ - 2 }\right) & - 23+ $ - 12 $ \times \left({ - 2 }\right) & 2+4\times \left({ - 2 }\right) & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

$3$\displaystyle{= $ - 1 $ \| \begin{array}4&1&8& \vspace{6}\\ - 3 & - 12 &4& \vspace{6}\\ - 2 &1& - 6 & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

2列目の1行目の成分以外を0にするために，行列式の計算則を用いて2行＋1行×12，3行+1行×(-1)の計算をする．

$3$\displaystyle{= $ - 1 $ \| \begin{array}4&1&8& \vspace{6}\\ - 3+4\times 12 & - 12+1\times 12 & 4+8\times 12 & \vspace{6}\\ - 2+4\times \left({ - 1 }\right) & 1+1\times \left({ - 1 }\right) & - 6+8\times \left({ - 1 }\right) & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

$3$\displaystyle{= $ - 1 $ \| \begin{array}4&1&8& \vspace{6}\\ 45 &0& 100 & \vspace{6}\\ - 6 &0& - 14 & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

2列目で余因子展開をする．

$3$\displaystyle{= $ - 1 $ \times { $ - 1 $ }^{ 1+2 } \| \begin{array} 45 & 100 & \vspace{6}\\ - 6 & - 14 & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

行列式の行と列の特徴を見ると，1行目の成分が5の倍数，2行目の成分が2の倍数になっている．よって，定数倍の性質を用いて1行目から5を，2行目から2をくくりだす

$3$\displaystyle{=5\times 2 \| \begin{array}9& 20 & \vspace{6}\\ - 3 & - 7 & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

行列式の行と列の特徴を見ると，1列目の成分が3の倍数になっている．よって定数倍の性質を用いて1列目から3をくくりだす．

$3$\displaystyle{ =10\times 3\left|{ \begin{array}3& 20 & \vspace{6}\\ - 1 & - 7 & \vspace{6}\\ \end{array} }\right| }$

$3$\displaystyle{=30 \{ 3\times $ - 7 $ - 20\times $ - 1 $ \} }$

$3$\displaystyle{=- 30}$

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最終更新日： 2023年2月8日