行列式の計算則

行列式の1つの行（または列）の各成分に一定の数 $3$\displaystyle{c}$ をかけて他の行（または列）に加えても，行列式の値は変わらない．

$3$\displaystyle{ \| \begin{array} \hspace{1}{a}_{ 11 } & \hspace{1}{a}_{ 12 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ 1n } & \vspace{6}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ s1 } & \hspace{1}{a}_{ s2 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ sn } & \vspace{6}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ t1 }+c\hspace{1}{a}_{ s1 } & \hspace{1}{a}_{ t2 }+c\hspace{1}{a}_{ s2 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ tn }+c\hspace{1}{a}_{ sn } & \vspace{6}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ n1 } & \hspace{1}{a}_{ n2 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ nn } & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$ $3$\displaystyle{ = \| \begin{array} \hspace{1}{a}_{ 11 } & \hspace{1}{a}_{ 12 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ 1n } & \vspace{6}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ s1 } & \hspace{1}{a}_{ s2 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ sn } & \vspace{6}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ t1 } & \hspace{1}{a}_{ t2 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ tn } & \vspace{6}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ n1 } & \hspace{1}{a}_{ n2 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ nn } & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

■証明

行列式が分かれる性質より

$3$\displaystyle{= \| \begin{array} \hspace{1}{a}_{ 11 } & \hspace{1}{a}_{ 12 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ 1n } & \vspace{6}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ s1 } & \hspace{1}{a}_{ s2 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ sn } & \vspace{6}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ t1 } & \hspace{1}{a}_{ t2 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ tn } & \vspace{6}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ n1 } & \hspace{1}{a}_{ n2 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ nn } & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$ $3$\displaystyle{+ \| c\begin{array} \hspace{1}{a}_{ 11 } & \hspace{1}{a}_{ 12 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ 1n } & \vspace{6}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ s1 } & \hspace{1}{a}_{ s2 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ sn } & \vspace{6}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ s1 } & \hspace{1}{a}_{ s2 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ sn } & \vspace{6}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ n1 } & \hspace{1}{a}_{ n2 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ nn } & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

定数倍の性質より

$3$\displaystyle{= \| \begin{array} \hspace{1}{a}_{ 11 } & \hspace{1}{a}_{ 12 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ 1n } & \vspace{6}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ s1 } & \hspace{1}{a}_{ s2 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ sn } & \vspace{6}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ t1 } & \hspace{1}{a}_{ t2 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ tn } & \vspace{6}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ n1 } & \hspace{1}{a}_{ n2 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ nn } & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$ $3$\displaystyle{+c \| \begin{array} \hspace{1}{a}_{ 11 } & \hspace{1}{a}_{ 12 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ 1n } & \vspace{6}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ s1 } & \hspace{1}{a}_{ s2 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ sn } & \vspace{6}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ s1 } & \hspace{1}{a}_{ s2 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ sn } & \vspace{6}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ n1 } & \hspace{1}{a}_{ n2 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ nn } & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

同じ行があるときの性質より

■具体例

$3$\displaystyle{ \left|{A}\right|=\left|{ \begin{array}1&2&3&4&5& \vspace{6}\\ 2&3&4&5&1& \vspace{6}\\ 3&4&5&1&2& \vspace{6}\\ 4&5&1&2&3& \vspace{6}\\ 5&1&2&3&4& \vspace{6}\\ \end{array} }\right| }$

例1

第3行に，第1行×2を加えた場合（この操作を，KIT Mathematics Navigation では，「3行+1行×2」と記載することにする．

$3$\displaystyle{ \left|{ \begin{array}1&2&3&4&5& \vspace{6}\\ 2&3&4&5&1& \vspace{6}\\ 3&4&5&1&2& \vspace{6}\\ 4&5&1&2&3& \vspace{6}\\ 5&1&2&3&4& \vspace{6}\\ \end{array} }\right| }$ $3$\displaystyle{ =\left|{ \begin{array}1&2&3&4&5& \vspace{6}\\ 2&3&4&5&1& \vspace{6}\\ 3+1\times 2 & 4+2\times 2 & 5+3\times 2 & 1+4\times 2 & 2+5\times 2 & \vspace{6}\\ 4&5&1&2&3& \vspace{6}\\ 5&1&2&3&4& \vspace{6}\\ \end{array} }\right| }$

例2

第3列に，第1列×3を加えた場合（この操作を，KIT Mathematics Navigation では，「3列+1列×3」と記載することにする．

$3$\displaystyle{ \left|{ \begin{array}1&2&3&4&5& \vspace{6}\\ 2&3&4&5&1& \vspace{6}\\ 3&4&5&1&2& \vspace{6}\\ 4&5&1&2&3& \vspace{6}\\ 5&1&2&3&4& \vspace{6}\\ \end{array} }\right| }$ $3$\displaystyle{ =\left|{ \begin{array}1&2& 3+1\times 3 &4&5& \vspace{6}\\ 2&3& 4+2\times 3 &5&1& \vspace{6}\\ 3&4& 5+3\times 3 &1&2& \vspace{6}\\ 4&5& 1+4\times 3 &2&3& \vspace{6}\\ 5&1& 2+5\times 3 &3&4& \vspace{6}\\ \end{array} }\right| }$

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最終更新日： 2025年4月22日