線形写像の合成

2つの線形写像 $3$\displaystyle{f:X\rightarrow Y}$ ， $3$\displaystyle{g:Y\rightarrow Z}$ がある．

$3$\displaystyle{X}$ は $3$\displaystyle{l}$ 次元ベクトル空間， $3$\displaystyle{Y}$ は $3$\displaystyle{m}$ 次元ベクトル空間， $3$\displaystyle{Z}$ は $3$\displaystyle{n}$ 次元ベクトル空間である．
$3$\displaystyle{X}$ の要素 $3$\displaystyle{\mathbb{x}}$ は $3$\displaystyle{f}$ により $3$\displaystyle{Y}$ の要素 $3$\displaystyle{\mathbb{y}}$ に対応し， $3$\displaystyle{Y}$ の要素 $3$\displaystyle{\mathbb{y}}$ は $3$\displaystyle{g}$ により $3$\displaystyle{Z}$ の要素 $3$\displaystyle{\mathbb{z}}$ に対応する．
$3$\displaystyle{f}$ と $3$\displaystyle{g}$ の線形写像を続けて行うことにより， $3$\displaystyle{X}$ の要素 $3$\displaystyle{\mathbb{x}}$ は $3$\displaystyle{Z}$ の要素 $3$\displaystyle{\mathbb{z}}$ に対応する．
このように2つの写像を連続して行う対応を写像の合成といい，合成された写像(合成写像)を $3$\displaystyle{h}$ とすると

$3$\displaystyle{h=g\circ f}$

で表す．合成写像の概念を図で表すと下図のようになる．

線形写像 $3$\displaystyle{f}$ の表現行列を $3$\displaystyle{A}$ ，線形写像 $3$\displaystyle{g}$ の表現行列を $3$\displaystyle{B}$ とすると，
合成された写像も線形写像となり，その表現行列は $3$\displaystyle{BA}$ となる．