決定係数と相関係数の関係

変量 $3$X$ と $3$Y$ の組のデータを用いた線形単回帰分析では，決定係数 $3$\displaystyle{{R}^{2}}$ は，相関係数 $3$\displaystyle{r}$ の2乗と等しい．

■証明

$3$\displaystyle{{R}^{2}=\frac{\hspace{2} \displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n}{ \left({ \hspace{1}{\hat{y}}_{i}- \hat{\hat{y}} }\right) }^{2}} \hspace{2}}{\hspace{2} \displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n}{ \left({ \hspace{1}{y}_{i}- \bar{y} }\right) }^{2}} \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\hat{y}}_{i}=a\hspace{1}{x}_{i}+b}$ ， $3$\displaystyle{\hat{\hat{y}}=\bar{y}=a\bar{x}+b}$ （線形単回帰分析を参照）より

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} \displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n}{ \left{{ \left({ a\hspace{1}{x}_{i}+b }\right)- \left({ a\bar{x}+b }\right) }\right} }^{2}} \hspace{2}}{\hspace{2} \displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n}{ \left({ \hspace{1}{y}_{i}- \bar{y} }\right) }^{2}} \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} \displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n}{ \left{{ a\left({ \hspace{1}{x}_{i}- \bar{x} }\right) }\right} }^{2}} \hspace{2}}{\hspace{2} \displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n}{ \left({ \hspace{1}{y}_{i}- \bar{y} }\right) }^{2}} \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} {a}^{2}\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n}{ \left({ \hspace{1}{x}_{i}- \bar{x} }\right) }^{2}} \hspace{2}}{\hspace{2} \displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n}{ \left({ \hspace{1}{y}_{i}- \bar{y} }\right) }^{2}} \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}{\sum }\limits_{ i=1 }^{n}{\left({ \hspace{1}{x}_{i}- \bar{x} }\right)}^{2}={\sigma}_{x}^{2}}$ ， $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}{\sum }\limits_{ i=1 }^{n}{\left({ \hspace{1}{y}_{i}- \bar{y} }\right)}^{2}={\sigma}_{y}^{2}}$ ， $3$\displaystyle{a=\frac{\hspace{2} \hspace{1}{{\sigma}}_{ xy } \hspace{2}}{\hspace{2} {\sigma}_{x}^{2} \hspace{2}}}$ （線形単回帰分析を参照）より

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} { \left({ \frac{\hspace{2} \hspace{1}{{\sigma}}_{ xy } \hspace{2}}{\hspace{2} {\sigma}_{x}^{2} \hspace{2}} }\right) }^{2}n{\sigma}_{x}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} n{\sigma}_{y}^{2} \hspace{2}}={\left({ \frac{\hspace{2} \hspace{1}{{\sigma}}_{ xy } \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{{\sigma}}_{x}\hspace{1}{{\sigma}}_{y} \hspace{2}} }\right)}^{2}={r}^{2}}$

となる．

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　最終更新日： 2026年5月17日