線形単回帰分析

線形単回帰分析は，回帰分析の一種であり，1つの説明変数を用いて，目的変数を1次式で表し，その関係を分析したり予測したりする手法である．

データNo.	データ $3$X$ （説明変数）	データ $3$Y$ （目的変数）
1	$3$\hspace{1}{x}_{1}$	$3$\hspace{1}{y}_{1}$
2	$3$\hspace{1}{x}_{2}$	$3$\hspace{1}{y}_{2}$
3	$3$\hspace{1}{x}_{3}$	$3$\hspace{1}{y}_{3}$
$3$\vdots$	$3$\vdots$	$3$\vdots$
$3$n$	$3$\hspace{1}{x}_{n}$	$3$\hspace{1}{y}_{n}$

$3$X$ と $3$Y$ のデータの組が $3$n$ 個あるとする。このデータから求められる回帰式(1次式)は

$3$\displaystyle{ \hat{y}=ax+b }$

ただし

$3$\displaystyle{a=\frac{\hspace{2} \hspace{1}{σ}_{ xy } \hspace{2}}{\hspace{2} σ_{x}^{2} \hspace{2}}}$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
， $3$\displaystyle{b=\bar{y}- a\bar{x}}$

$3$\displaystyle{\bar{x}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}{\displaystyle{\sum }}\limits_{ i=1 }^{n}\hspace{1}{x}_{i}}$ ， $3$\displaystyle{\bar{y}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}{\displaystyle{\sum }}\limits_{ i=1 }^{n}\hspace{1}{y}_{i}}$ (参照：平均)

$3$\displaystyle{\hspace{1}{{\sigma}}_{ xy }=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}{\displaystyle{\sum }}\limits_{ i=1 }^{n}\hspace{1}{x}_{i}\hspace{1}{y}_{i}- \bar{x}\bar{y}}$ (参照：共分散)

$3$\displaystyle{{\sigma}_{x}^{2}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}{\displaystyle{\sum }}\limits_{ i=1 }^{n}x_{i}^{2}- {\bar{x}}^{2}}$ (参照：分散)

となる．予測値であることが分かるように $3$\hat{y}$ を用いている． $3$a$ ， $3$b$ の導出は，最小二乗法のページを参照すること．

■具体的事例

表 2021年度の石川県の市区町村の総人口と教育・学習支援業の民営事業所数のデータ

地域	総人口	教育・学習支援業の民営事業所数
金沢市	463,254	918
七尾市	50,300	85
小松市	106,216	172
輪島市	24,608	15
珠洲市	12,929	13
加賀市	63,220	61
羽咋市	20,407	27
かほく市	34,889	48
白山市	110,408	141
能美市	48,523	83

地域	総人口	教育・学習支援業の民営事業所数
野々市市	57,238	88
川北町	6,135	11
津幡町	36,957	44
内灘町	26,574	43
志賀町	18,630	20
宝達志水町	12,121	3
中能登町	16,540	14
穴水町	7,890	15
能登町	15,687	18

データ元：政府統計の総合窓口（e-Stat）>>統計データを活用する：地域
参考資料(e-Statの使い方)：事例から学ぶビジネスパーソン向け統計データ利活用セミナー>>解説書（分割版２）

$3$\displaystyle{ {R}^{2} }$ は決定係数である

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　最終更新日： 2026年5月17日