$3$F$ 分布

連続型確率変数 $3$\displaystyle{X}$ が，確率密度関数

$3$\displaystyle{f\left({x}\right)=\frac{\hspace{2} {\Gamma}\left({ \frac{\hspace{2} \hspace{1}{n}_{1}+\hspace{1}{n}_{2} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }\right) \hspace{2}}{\hspace{2} {\Gamma}\left({ \frac{\hspace{2} \hspace{1}{n}_{1} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }\right){\Gamma}\left({ \frac{\hspace{2} \hspace{1}{n}_{2} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }\right) \hspace{2}}{\left({ \frac{\hspace{2} \hspace{1}{n}_{1} \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{n}_{2} \hspace{2}} }\right)}^{ \frac{\hspace{2} \hspace{1}{n}_{1} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }{x}^{ \frac{\hspace{2} \hspace{1}{n}_{1} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}- 1 }{\left({ 1+\frac{\hspace{2} \hspace{1}{n}_{1} \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{n}_{2} \hspace{2}}x }\right)}^{ - \frac{\hspace{2} \hspace{1}{n}_{1}+\hspace{1}{n}_{2} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }}$ $3$\displaystyle{\left({ x\geq 0;\text{ }\hspace{1}{n}_{1},\hspace{1}{n}_{2}=1,2,3,\cdot \cdot \cdot }\right)}$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。

をもつとき， $3$\displaystyle{X}$ は自由度 $3$\left({ \hspace{1}{n}_{1},\hspace{1}{n}_{2} }\right)$ の F分布 $3$$ $3$F\left({ \hspace{1}{n}_{1},\hspace{1}{n}_{2} }\right)$ に従うという．

確率変数 $3$\displaystyle{X}$ が自由度 $3$\left({ \hspace{1}{n}_{1},\hspace{1}{n}_{2} }\right)$ のF分布 $3$F\left({ \hspace{1}{n}_{1},\hspace{1}{n}_{2} }\right)$ に従うとき

平均： $3$\displaystyle{E\left({X}\right)=\frac{\hspace{2} \hspace{1}{n}_{2} \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{n}_{2}- 2 \hspace{2}}\text{\hspace{5}}\left({ \hspace{1}{n}_{2}≧3 }\right)}$
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分散： $3$\displaystyle{V\left({X}\right)=\frac{\hspace{2} 2{n}^{2}\left({ \hspace{1}{n}_{1}+\hspace{1}{n}_{2}- 2 }\right) \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{n}_{1}{ \left({ \hspace{1}{n}_{2}- 2 }\right) }^{2}\left({ \hspace{1}{n}_{2}- 4 }\right) \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{\left({ \hspace{1}{n}_{2}≧5 }\right)}$
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が成立する．

■性質

$3$\displaystyle{F\left({ \hspace{1}{n}_{1},\hspace{1}{n}_{2} }\right)}$ の確率密度関数を $3$\displaystyle{\hspace{1}{f}_{ \hspace{1}{n}_{1},\hspace{1}{n}_{2} }\left({x}\right)}$ とおくとき，正の定数 $3$\displaystyle{a}$ について
$3$\displaystyle{ \displaystyle{\int }_{a}^{ +\infty }\hspace{1}{f}_{ \hspace{1}{n}_{1},\hspace{1}{n}_{2} }\left({x}\right)dx=\displaystyle{\int }_{0}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}} }\hspace{1}{f}_{ \hspace{1}{n}_{2},\hspace{1}{n}_{1} }\left({x}\right)dx }$
が成立する．
確率変数 $3$\displaystyle{X}$ が $3$\displaystyle{F\left({ \hspace{1}{n}_{1},\hspace{1}{n}_{2} }\right)}$ に従うとき，確率変数 $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}X\hspace{2}}}$ は $3$\displaystyle{F\left({ \hspace{1}{n}_{2},\hspace{1}{n}_{1} }\right)}$ に従う．
確率変数 $3$X$ ， $3$Y$ が互いに独立で，それぞれ自由度 $3$ \hspace{1}{n}_{1}$ ， $3$ \hspace{1}{n}_{2}$ の $3$\displaystyle{{{\chi}}^{2}}$ 分布に従っているとき

$3$\displaystyle{ F=\frac{\hspace{2} \text{ }\frac{\hspace{2}X\hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{n}_{1} \hspace{2}}\text{ } \hspace{2}}{\hspace{2} \frac{\hspace{2}Y\hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{n}_{2} \hspace{2}} \hspace{2}} }$
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は自由度 $3$\displaystyle{\left({ \hspace{1}{n}_{1},\hspace{1}{n}_{2} }\right)}$ のF分布に従う．
$3$X$ を自由度 $3$\displaystyle{\left({ \hspace{1}{n}_{1},\hspace{1}{n}_{2} }\right)}$ の $3$F$ 分布に従う確率変数とする． $3$\displaystyle{{\alpha} $ 0\leq {\alpha}\leq 1 $ }$ に対して

$3$\displaystyle{P\left({ X≧\hspace{1}{F}_{ \hspace{1}{n}_{1},\hspace{1}{n}_{2} }\left({\alpha }\right) }\right)=\alpha }$
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とするとき

$3$\displaystyle{\hspace{1}{F}_{ \hspace{1}{n}_{1},\hspace{1}{n}_{2} }\left({\alpha }\right)=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{F}_{ \hspace{1}{n}_{2},\hspace{1}{n}_{1} }\left({ 1- \alpha }\right) \hspace{2}}}$

が成立する．