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標本平均の分散
前提：母集団の中から，
個の標本を取り出す（取り出した標本は，すぐに母集団に戻し，次の標本を取り出す復元抽出）試行を考える．ただし，
母分散を
とする．
■導出
母集団の中から，
個の標本を取り出す（取り出した標本は，すぐに母集団に戻し，次の標本を取り出す復元抽出）試行を考える．
1回目の試行で取り出したデータを
，
，
，
2回目の試行で取り出したデータを
，
，
，
回目の試行で取り出したデータを
，
，
，
と表記する．
各試行で得られた
，
，
，
が生じる各確率は一定の確率で表されるので確率変数になる．それらの確率変数を
，
，
，
とする．また，各試行の標本の平均を
，標本の分散を
とする．標本平均
，標本分散
も確率変数となり，それぞれを，
と
で表すことにする．以上の内容を表でまとめると以下のようになる．
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･･････(1)
(1)を確率変数で表わすと
･･････(2)
となる．
前提条件より
･･････(3)
となる．
また
，
，
，
は互いに独立
である．
標本平均の分散は，(2)より
･･････(4)
となる(ここを参照)．
(4)に(2)を代入する．
(ここを参照)
(ここを参照)
(3)より
標本の平均の分散は母分散を標本数
で割った値になる．
最終更新日： 2026年5月6日