解の公式の求め方

■ $3$a{x}^{2}+bx+c=0\text{\hspace{5}\hspace{5}} $ a\neq 0 $$ の解の公式の導出

　ただし， $3$\displaystyle{{b}^{2}- 4ac\geq 0}$ とする．

$3$\displaystyle{ a{x}^{2}+bx+c=0 }$

$3$\displaystyle{ a $ {x}^{2}+\frac{\hspace{2}b\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}}x+\frac{\hspace{2}c\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}} $ =0 }$

2次関数の平方完成の計算の仕方を参考に式を変形する．

$3$\displaystyle{ a \{ {x}^{2}+\frac{\hspace{2}b\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}}x\{\red{\text{there is tag which can't be converted to TeX}}\}+\frac{\hspace{2}c\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}} \} =0 }$

$3$\displaystyle{a\left{{ { \left({ x+\frac{\hspace{2}b\hspace{2}}{\hspace{2} 2a \hspace{2}} }\right) }^{2}- \frac{\hspace{2} {b}^{2}- 4ac \hspace{2}}{\hspace{2} 4{a}^{2} \hspace{2}} }\right}=0}$

$3$\displaystyle{ a \{ { $ x+\frac{\hspace{2}b\hspace{2}}{\hspace{2} 2a \hspace{2}} $ }^{2}- { $ \frac{\hspace{2} \sqrt{ {b}^{2}- 4ac } \hspace{2}}{\hspace{2} 2a \hspace{2}} $ }^{2} \} =0 }$

因数分解の公式 $3$\displaystyle{{x}^{2}- {y}^{2}=\left({ x+y }\right)\left({ x- y }\right)}$ を適用する

$3$\displaystyle{ a\left{{ \left({ x+\frac{\hspace{2}b\hspace{2}}{\hspace{2} 2a \hspace{2}} }\right)+\left({ \frac{\hspace{2} \sqrt{ {b}^{2}- 4ac } \hspace{2}}{\hspace{2} 2a \hspace{2}} }\right) }\right}\left{{ \left({ x+\frac{\hspace{2}b\hspace{2}}{\hspace{2} 2a \hspace{2}} }\right)- \left({ \frac{\hspace{2} \sqrt{ {b}^{2}- 4ac } \hspace{2}}{\hspace{2} 2a \hspace{2}} }\right) }\right}=0 }$

$3$\displaystyle{ a\left({ x+\frac{\hspace{2} b+\sqrt{ {b}^{2}- 4ac } \hspace{2}}{\hspace{2} 2a \hspace{2}} }\right)\left({ x+\frac{\hspace{2} b- \sqrt{ {b}^{2}- 4ac } \hspace{2}}{\hspace{2} 2a \hspace{2}} }\right)=0 }$ 　･･････(1)

(1)が成り立つためには

$3$\displaystyle{x+\frac{\hspace{2} b+\sqrt{ {b}^{2}- 4ac } \hspace{2}}{\hspace{2} 2a \hspace{2}}=0}$ ，あるいは， $3$\displaystyle{x+\frac{\hspace{2} b- \sqrt{ {b}^{2}- 4ac } \hspace{2}}{\hspace{2} 2a \hspace{2}}=0}$

である．したがって

$3$\displaystyle{x=- \frac{\hspace{2} b+\sqrt{ {b}^{2}- 4ac } \hspace{2}}{\hspace{2} 2a \hspace{2}},- \frac{\hspace{2} b- \sqrt{ {b}^{2}- 4ac } \hspace{2}}{\hspace{2} 2a \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} - b- \sqrt{ {b}^{2}- 4ac } \hspace{2}}{\hspace{2} 2a \hspace{2}},\frac{\hspace{2} - b+\sqrt{ {b}^{2}- 4ac } \hspace{2}}{\hspace{2} 2a \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} - b\pm \sqrt{ {b}^{2}- 4ac } \hspace{2}}{\hspace{2} 2a \hspace{2}}}$

となる．

■ $3$a{x}^{2}+2bx+c=0\text{\hspace{5}\hspace{5}} $ a\neq 0 $$ の解の公式の導出

　ただし， $3$\displaystyle{{b}^{2}- ac\geq 0}$ とする．

$3$\displaystyle{ a{x}^{2}+2bx+c=0 }$

$3$\displaystyle{ a $ {x}^{2}+\frac{\hspace{2}b\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}}x+\frac{\hspace{2}c\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}} $ =0 }$

2次関数の平方完成の計算の仕方を参考に式を変形する．

$3$\displaystyle{ a \{ {x}^{2}+\frac{\hspace{2} 2b \hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}}x\{\red{\text{there is tag which can't be converted to TeX}}\}+\frac{\hspace{2}c\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}} \} =0 }$

$3$\displaystyle{a\left{{ { \left({ x+\frac{\hspace{2}b\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}} }\right) }^{2}- \frac{\hspace{2} {b}^{2}- ac \hspace{2}}{\hspace{2} {a}^{2} \hspace{2}} }\right}=0}$

$3$\displaystyle{ a \{ { $ x+\frac{\hspace{2}b\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}} $ }^{2}- { $ \frac{\hspace{2} \sqrt{ {b}^{2}- ac } \hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}} $ }^{2} \} =0 }$

因数分解の公式 $3$\displaystyle{{x}^{2}- {y}^{2}=\left({ x+y }\right)\left({ x- y }\right)}$ を適用する

$3$\displaystyle{ a \{ $ x+\frac{\hspace{2}b\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}} $ + $ \frac{\hspace{2} \sqrt{ {b}^{2}- ac } \hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}} $ \} \{ $ x+\frac{\hspace{2}b\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}} $ - $ \frac{\hspace{2} \sqrt{ {b}^{2}- ac } \hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}} $ \} =0 }$

$3$\displaystyle{ a $ x+\frac{\hspace{2} b+\sqrt{ {b}^{2}- ac } \hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}} $ $ x+\frac{\hspace{2} b- \sqrt{ {b}^{2}- ac } \hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}} $ =0 }$ 　･･････(2)

(2)が成り立つためには

$3$\displaystyle{x+\frac{\hspace{2} b+\sqrt{ {b}^{2}- ac } \hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}}=0}$ ，あるいは， $3$\displaystyle{x+\frac{\hspace{2} b- \sqrt{ {b}^{2}- ac } \hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}}=0}$

である．したがって

$3$\displaystyle{x=- \frac{\hspace{2} b+\sqrt{ {b}^{2}- ac } \hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}},- \frac{\hspace{2} b- \sqrt{ {b}^{2}- ac } \hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} - b- \sqrt{ {b}^{2}- ac } \hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}},\frac{\hspace{2} - b+\sqrt{ {b}^{2}- ac } \hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} - b\pm \sqrt{ {b}^{2}- ac } \hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}}}$

となる．

ホーム>>カテゴリー分類>>関数>>解の公式の求め方

最終更新日： 2024年10月24日

解の公式の求め方

■ $3$a{x}^{2}+bx+c=0\text{\hspace{5}\hspace{5}} \( a\neq 0 \)$ の解の公式の導出

■ $3$a{x}^{2}+2bx+c=0\text{\hspace{5}\hspace{5}} \( a\neq 0 \)$ の解の公式の導出

解の公式の求め方

■ の解の公式の導出

■ の解の公式の導出

■ $3$a{x}^{2}+bx+c=0\text{\hspace{5}\hspace{5}} \( a\neq 0 \)$ の解の公式の導出

■ $3$a{x}^{2}+2bx+c=0\text{\hspace{5}\hspace{5}} \( a\neq 0 \)$ の解の公式の導出