グラフを直線 $3$y=x$ に関して対称移動した関数

関数 $3$\displaystyle{ y=f $x$ }$ のグラフを直線 $3$ y=x$ に関して対称移動たグラフを表す関数は

$3$\displaystyle{x=f\left({x}\right)}$ 　･･････(1)

すなわち

$3$\displaystyle{y={f}^{ - 1 }\left({x}\right)}$ 　･･････(2)

となる．ただし，関数 $3$\displaystyle{f\left({x}\right)}$ には，逆関数 $3$\displaystyle{{f}^{ - 1 }\left({x}\right)}$ が存在するものとする．

ポイント：直線 $3$ y=x$ に関して対称移動した関数は元の関数の $3$x$ と $3$y$ を入れ換えたものになる．すなわち，元の関数の逆関数になる．

■式の導出

$3$\displaystyle{ y=f $x$ }$ のグラフを直線 $3$ y=x$ に関して対称移動したグラフを表す関数を求める．

$3$\displaystyle{ y=f $x$ }$ 上の点 $3$\text{P}$ を直線 $3$ y=x$ に関して対称移動したものを点 $3$\text{Q}$ とし，点 $3$\text{P}$ ， $3$\text{Q}$ の座標をそれぞれ $3$\displaystyle{ $ r,s $ }$ ， $3$ $ x,y $$ とする．

まず，定直線に関して対称な点の条件より， $3$x$ ， $3$y$ を $3$r$ ， $3$s$ を用いて表すことにする．

線分 $3$\text{PQ}$ の中点を $3$\text{R}$ とすると，点 $3$\text{R}$ の座標は

$3$\displaystyle{\left({ \frac{\hspace{2} r+x \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}},\frac{\hspace{2} s+y \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }\right)}$

となり，点 $3$\text{R}$ が直線 $3$ y=x$ 上にあることより

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} s+y \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}=\frac{\hspace{2} r+x \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$ 　･･････(3)

が成り立つ．

また，線分 $3$\text{PQ}$ と直線 $3$y=x$ は直交することより

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} y- s \hspace{2}}{\hspace{2} x- r \hspace{2}}\cdot 1=- 1}$ 　･･････(4)

ここで， $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} y- s \hspace{2}}{\hspace{2} x- r \hspace{2}}}$ は線分 $3$\text{PQ}$ の傾きである．

の関係がある．

(3)より

$3$\displaystyle{x- y=s- r}$ 　･･････(5)

(4)より

$3$\displaystyle{x+y=r+s}$ 　･･････(6)

(5)+(6)より

$3$\displaystyle{2x=2s}$ 　→　 $3$\displaystyle{x=s}$ 　･･････(7)

(6)-(5)より

$3$\displaystyle{2y=2r}$ 　→　 $3$\displaystyle{y=r}$ 　･･････(8)

(7)，(8)より

$3$\displaystyle{\displaystyle{\left{{\begin{array}{lll}x=s& \vspace{6}\\ y=r& \vspace{6}\\ \end{array}\text{\hspace{5}}\rightarrow \text{\hspace{5}}\left({ x,y }\right)=\left({ s,r }\right)}}$ 　　･･････(9)

備考：これは，直線 $3$y=x$ に関して対称移動すると， $3$x$ 座標と $3$y$ 座標が入れかわることを意味している．

の関係がある．これは点 $3$\text{Q}$ を点 $3$\text{P}$ の座標の値を用いて表しているが，逆に点 $3$\text{P}$ の座標を，点 $3$\text{Q}$ の座標の値 $3$x$ ， $3$y$ を使って表すと

$3$\displaystyle{\left{{\begin{array}{lll}r=y& \vspace{6}\\ s=x& \vspace{6}\\ \end{array}\text{\hspace{5}}\rightarrow \text{\hspace{5}}\left({ r,s }\right)=\left({ y,x }\right)}$ 　･･････(10)

となる．点 $3$\text{P}$ は $3$\displaystyle{ y=f $x$ }$ 上の点であるので

$3$\displaystyle{ s=f $r$ }$ 　　･･････(11)

の関係がある．この(11)の $3$r$ と $3$s$ に(10)の関係を代入すると

$3$\displaystyle{ x=f\left({ y }\right) }$ 　･･････(1)

となる．関数 $3$f$ の逆関数 $3${f}^{ - 1 }$ を用いて表すと

$3$\displaystyle{y={f}^{ - 1 }\left({x}\right)}$ 　･･････(2)

となる．(2)は $3$x$ と $3$y$ の関係を表している．すなわち，この(2)が $3$ y=f $x$$ のグラフを直線 $3$y=x$ に関して対称移動したグラフを表す関数である．

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最終更新日：2023年12月6日

グラフを直線に関して対称移動した関数

■式の導出

グラフを直線 $3$y=x$ に関して対称移動した関数