合成関数の極限の証明

$3$\displaystyle{ { \lim }\limits_{ x\rightarrow a }g\left({x}\right)=b }$ で，かつ， $3$\displaystyle{f}$ が $3$\displaystyle{b}$ で連続ならば

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ x\rightarrow a }f\left({ g\left({x}\right) }\right)=f\left({ { \lim }\limits_{ x\rightarrow a }g\left({x}\right) }\right)}$

が成り立つ．

■証明

$3$\displaystyle{f}$ が $3$\displaystyle{b}$ で連続であることより

任意の正数 $3$\displaystyle{{\varepsilon}}$ に対して，適当な正数 $3$\displaystyle{{{\delta}}^{\prime }}$ があって， $3$\displaystyle{\left|{ u- b }\right|< {{\delta}}^{\prime }}$ を満たすすべての $3$\displaystyle{u}$ について $3$\displaystyle{\left|{ f\left({u}\right)- f\left({b}\right) }\right|< {\varepsilon}}$ となる･･････(1)

ここで

$3$\displaystyle{u=g\left({x}\right)}$ ･･････(2)

とおくと，(1)は

任意の正数 $3$\displaystyle{{\varepsilon}}$ に対して，適当な正数 $3$\displaystyle{{{\delta}}^{\prime }}$ があって， $3$\displaystyle{\left|{ g\left({x}\right)- b }\right|< {{\delta}}^{\prime }}$ を満たすすべての $3$x$ について $3$\left|{ f\left({ g\left({x}\right) }\right)- f\left({b}\right) }\right|< {\varepsilon}$ となる･･････(3)

と書き換えられる．

一方

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ x\rightarrow a }g\left({x}\right)=b}$ ･･････(4)

より

この正の数 $3${{\delta}}^{\prime }$ に対して，適当な正の数 $3${\delta}$ が存在して， $3$0< \left|{ x- a }\right|< {\delta}$ ならば $3$\displaystyle{\left|{ g\left({x}\right)- b }\right|< {{\delta}}^{\prime }}$ となる．(ここを参照) ･･････(5)

(3)と(5)より

任意の正数 $3$\displaystyle{{\varepsilon}}$ に対して，適当な正数 $3${\delta}$ があって， $3$0< \left|{ x- a }\right|< {\delta}$ を満たすすべての $3$\displaystyle{x}$ について $3$\left|{ f\left({ g\left({x}\right) }\right)- f\left({b}\right) }\right|< {\varepsilon}$ となる･･････(6)

といえる．

(6)より

$3$\displaystyle{ { \lim }\limits_{ x\rightarrow a }f\left({ g\left({x}\right) }\right)=f\left({b}\right) }$ ･･････(7)

(4)より

$3$f\left({b}\right)=f\left({ { \lim }\limits_{ x\rightarrow a }g\left({x}\right) }\right)$ ･･････(8)

(7)と(8)より

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ x\rightarrow a }f\left({ g\left({x}\right) }\right)=f\left({ { \lim }\limits_{ x\rightarrow a }g\left({x}\right) }\right)}$

となる．以上より証明された．

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最終更新日 2026年6月8日