オイラーの公式による加法定理の導出

$3$\displaystyle{ \cos $ {\alpha}\pm {\beta} $ =\cos {\alpha}\cos {\beta}\mp \sin {\alpha}\sin {\beta} }$

$3$\displaystyle{ \sin $ {\alpha}\pm {\beta} $ =\sin {\alpha}\cos {\beta}\pm \cos {\alpha}\sin {\beta} }$

■オイラーの公式による加法定理の導出

指数が複素数でも底が自然対数の底 $3$\displaystyle{e}$ の場合は指数法則の $3$\displaystyle{ {e}^{ \hspace{1}{z}_{1}+\hspace{1}{z}_{2} }={e}^{ \hspace{1}{z}_{1} }\cdot {e}^{ \hspace{1}{z}_{2} } }$ が成り立つことより

$3$\displaystyle{ {e}^{ i $ {\alpha}\pm {\beta} $ } }$ $3$\displaystyle{ ={e}^{ i{\alpha} }\times {e}^{ \pm i{\beta} } }$ $3$\displaystyle{\hspace{5}}$

が得られる．右辺はオイラーの公式 $3$\displaystyle{ {e}^{ i{\theta} }=\cos {\theta}+i\sin {\theta} }$ より

$3$\displaystyle{ {e}^{ i{\alpha} }\times {e}^{ \pm i{\beta} } }$ $3$\displaystyle{ = $ \cos {\alpha}+i\sin {\alpha} $ \times $ \cos \( \pm {\beta} $ +i\sin $ \pm {\beta} $ \) }$

$3$\displaystyle{ =\cos {\alpha}\cos $ \pm {\beta} $ - \sin {\alpha}\sin $ \pm {\beta} $ }$ $3$\displaystyle{ +i $ \sin {\alpha}\cos \( \pm {\beta} $ +\cos {\alpha}\sin $ \pm {\beta} $ \) }$

$3$\displaystyle{ =\cos {\alpha}\cos {\beta}\mp \sin {\alpha}\sin {\beta} }$ $3$\displaystyle{ +i $ \sin {\alpha}\cos {\beta}\pm \cos {\alpha}\sin {\beta} $\hspace{10} }$ 　･･･････(1)

左辺もオイラーの公式より

$3$\displaystyle{ {e}^{ i $ {\alpha}\pm {\beta} $ } }$ $3$\displaystyle{=\cos $ {\alpha}\pm {\beta} $ +i\sin $ {\alpha}\pm {\beta} $ }$ ･･･････(2)

(1)=(2)より

$3$\displaystyle{\cos $ {\alpha}\pm {\beta} $ =\cos {\alpha}\cos {\beta}\mp \sin {\alpha}\sin {\beta}}$

$3$\displaystyle{\sin $ {\alpha}\pm {\beta} $ =\sin {\alpha}\cos {\beta}\pm \cos {\alpha}\sin {\beta}}$

となり加法定理が得られる．

実際には， $3$\displaystyle{ {e}^{ \hspace{1}{z}_{1}+\hspace{1}{z}_{2} }={e}^{ \hspace{1}{z}_{1} }\cdot {e}^{ \hspace{1}{z}_{2} } }$ が成り立つことを証明するのに加法定理を使っているので加法定理の証明にはならない．

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最終更新日 2025年9月5日