1・サイン・コサイン三角形を用いた三角関数の相互関係の導出

■三角比の相互関係

$3$\displaystyle{{\sin }^{2}{\theta}+{\cos }^{2}{\theta}=1}$ ⇒こちらへ

$3$\displaystyle{\tan {\theta}=\frac{\hspace{2} \sin {\theta} \hspace{2}}{\hspace{2} \cos {\theta} \hspace{2}}}$ ⇒こちらへ

$3$\displaystyle{{\tan }^{2}{\theta}+1=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} { \cos }^{2}{\theta} \hspace{2}}}$ ⇒こちらへ

■相互関係の導出

● $3$\displaystyle{{\sin }^{2}{\theta}+{\cos }^{2}{\theta}=1}$ の導出

1・サイン・コサイン三角形の三平方の定理より，

$3$\displaystyle{{\text{AB}}^{2}+{\text{AC}}^{2}={\text{AB}}^{2}}$

の関係がある．各辺の長さは，

$3$\displaystyle{\text{AB}=1}$ $3$\displaystyle{\text{BC}=\text{\sin }{\theta}}$ ， $3$\displaystyle{\text{AC}=\text{\cos }{\theta}}$

である．よって，三角関数の相互関係の式の1つ，

$3$\displaystyle{{\sin }^{2}{\theta}+{\cos }^{2}{\theta}=1}$

が得られる．

● $3$\displaystyle{\tan {\theta}=\frac{\hspace{2} \sin {\theta} \hspace{2}}{\hspace{2} \cos {\theta} \hspace{2}}}$ の導出

$3$\displaystyle{ \tan {\theta} }$ の定義より，

$3$\displaystyle{\tan {\theta}=\frac{\hspace{2} \text{BC} \hspace{2}}{\hspace{2} \text{AC} \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} \sin {\theta} \hspace{2}}{\hspace{2} \cos {\theta} \hspace{2}}}$

となり，三角関数の相互関係の1つが得られる．

● $3$\displaystyle{{\tan }^{2}{\theta}+1=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} { \cos }^{2}{\theta} \hspace{2}}}$ の導出

さらに，各辺を， $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \cos {\theta} \hspace{2}}}$ 倍すると，

$3$\displaystyle{\text{AB}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \cos {\theta} \hspace{2}}}$ ， $3$\displaystyle{\text{BC}=\sin {\theta}\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \cos {\theta} \hspace{2}}=\tan {\theta}}$ ， $3$\displaystyle{\text{AC}=\cos {\theta}\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \cos {\theta} \hspace{2}}=1}$

となる．三平方の定理より，

$3$\displaystyle{{ $ \tan {\theta} $ }^{2}+1={ $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \cos {\theta} \hspace{2}} $ }^{2}}$ ⇒ $3$\displaystyle{{\tan }^{2}{\theta}+1=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} { \cos }^{2}{\theta} \hspace{2}}}$

となり三角関数の相互関係の式の1つが得られる．

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最終更新日： 2025年4月22日

1・サイン・コサイン三角形を用いた三角関数の相互関係の導出

■三角比の相互関係

■相互関係の導出

● の導出

● の導出

● の導出

● $3$\displaystyle{{\sin }^{2}{\theta}+{\cos }^{2}{\theta}=1}$ の導出

● $3$\displaystyle{\tan {\theta}=\frac{\hspace{2} \sin {\theta} \hspace{2}}{\hspace{2} \cos {\theta} \hspace{2}}}$ の導出

● $3$\displaystyle{{\tan }^{2}{\theta}+1=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} { \cos }^{2}{\theta} \hspace{2}}}$ の導出