重積分の変数変換座標平面における1次変換

$3$\displaystyle{x\text{\hspace{1} },\text{\hspace{1} }y\text{\hspace{1} }}$ の微小変化 $3$\displaystyle{dx\text{\hspace{1} },\text{\hspace{1} }dy\text{\hspace{1} }}$ を求める式

$3$\displaystyle{dx=\hspace{1}{{\phi}}_{u}du+\hspace{1}{{\phi}}_{v}dv}$ 　･･････(1)

$3$\displaystyle{dy=\hspace{1}{{\psi}}_{u}du+\hspace{1}{{\psi}}_{v}dv}$ 　･･････(2)

は定数項を含まない1次式の組であるから， $3$\displaystyle{uv\text{\hspace{1} }}$ 平面から $3$\displaystyle{xy\text{\hspace{1} }}$ 平面への1次変換と考えられる．ここで，簡単のため $3$\displaystyle{uv\text{\hspace{1} }}$ 平面内の長方形の微小面積 $3$\displaystyle{d\hspace{1}{S}_{ uv }\text{\hspace{1} }}$ の左下をを原点に移して考えると，各頂点の座標は

$3$\displaystyle{ $ 0,0 $ }$ ， $3$\displaystyle{ $ du,0 $ }$ ， $3$\displaystyle{ $ 0,dv $ }$ ， $3$\displaystyle{ $ du,dv $ }$

となる．(1)，(2)の関係から

$3$\displaystyle{ $ 0,0 $ }$ の変換

$3$\displaystyle{\hspace{1}{{\phi}}_{u}\text{\hspace{1} }\cdot \text{\hspace{1} }0+\hspace{1}{{\phi}}_{v}\text{\hspace{1} }\cdot \text{\hspace{1} }0\text{\hspace{1} }=0}$

$3$\displaystyle{\hspace{1}{{\psi}}_{u}\text{\hspace{1} }\cdot \text{\hspace{1} }0+\hspace{1}{{\psi}}_{v}\text{\hspace{1} }\cdot \text{\hspace{1} }0=0}$

よって， $3$\displaystyle{xy\text{\hspace{1} }}$ 平面上の点 $3$\displaystyle{ $ 0,0 $ \text{\hspace{1} }}$ に移る．

$3$\displaystyle{ $ du,0 $ }$ の変換

$3$\displaystyle{\hspace{1}{{\phi}}_{u}\text{\hspace{1} }\cdot \text{\hspace{1} }du+\hspace{1}{{\phi}}_{v}\text{\hspace{1} }\cdot \text{\hspace{1} }0=\hspace{1}{{\phi}}_{u}du}$

$3$\displaystyle{\hspace{1}{{\psi}}_{u}\text{\hspace{1} }\cdot \text{\hspace{1} }du+\hspace{1}{{\psi}}_{v}\text{\hspace{1} }\cdot \text{\hspace{1} }0=\hspace{1}{{\psi}}_{u}du}$

よって， $3$\displaystyle{xy\text{\hspace{1} }}$ 平面上の点 $3$\displaystyle{ $ \hspace{1}{{\phi}}_{u}du,\hspace{1}{{\psi}}_{u}du $ \text{\hspace{1} }}$ に移る．

$3$\displaystyle{ $ 0,dv $ }$ の変換

$3$\displaystyle{\hspace{1}{{\phi}}_{u}\text{\hspace{1} }\cdot \text{\hspace{1} }0+\hspace{1}{{\phi}}_{v}\text{\hspace{1} }\cdot \text{\hspace{1} }dv=\hspace{1}{{\phi}}_{v}dv}$

$3$\displaystyle{\hspace{1}{{\psi}}_{u}\text{\hspace{1} }\cdot \text{\hspace{1} }0+\hspace{1}{{\psi}}_{v}\text{\hspace{1} }\cdot \text{\hspace{1} }dv=\hspace{1}{{\psi}}_{v}dv}$

よって， $3$\displaystyle{xy\text{\hspace{1} }}$ 平面上の点 $3$\displaystyle{ $ \hspace{1}{{\phi}}_{v}dv,\hspace{1}{{\psi}}_{v}dv $ \text{\hspace{1} }}$ に移る．

$3$\displaystyle{ $ du,dv $ }$ の変換

$3$\displaystyle{\hspace{1}{{\phi}}_{u}\text{\hspace{1} }\cdot \text{\hspace{1} }du+\hspace{1}{{\phi}}_{v}\text{\hspace{1} }\cdot \text{\hspace{1} }dv=\hspace{1}{{\phi}}_{u}du+\hspace{1}{{\phi}}_{v}dv}$

$3$\displaystyle{\hspace{1}{{\psi}}_{u}\text{\hspace{1} }\cdot \text{\hspace{1} }du+\hspace{1}{{\psi}}_{v}\text{\hspace{1} }\cdot \text{\hspace{1} }dv=\hspace{1}{{\psi}}_{u}du+\hspace{1}{{\psi}}_{v}dv}$

よって， $3$\displaystyle{xy\text{\hspace{1} }}$ 平面上の点 $3$\displaystyle{ $ \hspace{1}{{\phi}}_{u}du+\hspace{1}{{\phi}}_{v}dv,\hspace{1}{{\psi}}_{u}du+\hspace{1}{{\psi}}_{v}dv $ \text{\hspace{1} }}$ に移る．

まとめ

以上より， $3$\displaystyle{uv\text{\hspace{1} }}$ 平面上の各頂点

$3$\displaystyle{ $ 0,0 $ }$ ， $3$\displaystyle{ $ du,0 $ \text{\hspace{1} },\text{\hspace{1} } $ 0,dv $ }$ ， $3$\displaystyle{ $ du,dv $ }$

は，(1)，(2)による1次変換によって $3$\displaystyle{xy\text{\hspace{1} }}$ 平面上の点

$3$\displaystyle{ $ 0,0 $ }$ ， $3$\displaystyle{ $ \hspace{1}{{\phi}}_{u}du,\hspace{1}{{\psi}}_{u}du $ }$ ， $3$\displaystyle{ $ \hspace{1}{{\phi}}_{v}dv,\hspace{1}{{\psi}}_{v}dv $ }$ ， $3$\displaystyle{ $ \hspace{1}{{\phi}}_{u}du+\hspace{1}{{\phi}}_{v}dv,\hspace{1}{{\psi}}_{u}du+\hspace{1}{{\psi}}_{v}dv $ }$