複素フーリエ変換

$3$\displaystyle{ f\left({x}\right)=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 2{\pi} } \hspace{2}}\displaystyle{ \int _{0}^{\infty} F\left({{\omega}}\right){e}^{ - i{\omega}x }d{\omega} } }$

$3$\displaystyle{ F\left({{\omega}}\right)=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 2{\pi} } \hspace{2}}\displaystyle{ \int _{0}^{\infty} f\left({x}\right){e}^{ i{\omega}x }dx } }$

となる． $3$\displaystyle{ F\left({{\omega}}\right) }$ を $3$\displaystyle{ f\left({x}\right) }$ のフーリエ変換という．

■導出

フーリエ積分

$3$\displaystyle{ f $x$ =\displaystyle{ \int _{0}^{\infty} \{ G $w$ \cos wx+H $w$ \sin wx \} dw } }$ 　　･･････(1)

$3$\displaystyle{G $w$ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}\displaystyle{ \int _{ - \infty }^{\infty} f $v$ \cos wvdv }}$ 　･･････(1-1)

$3$\displaystyle{H $w$ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}\displaystyle{ \int _{ - \infty }^{\infty} f $v$ \sin wvdv }}$ 　･･････(1-2)

をオイラーの公式

$3$\displaystyle{ {e}^{ i{\theta} }=\cos {\theta}+i\sin {\theta} }$

を使って，複素数にまで拡張する．

$3$\displaystyle{\cos wv=\frac{\hspace{2} {e}^{ iwv }+{e}^{ - iwv } \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$ 　･･････(2)

$3$\displaystyle{\sin wv=- i\frac{\hspace{2} {e}^{ iwv }- {e}^{ - iwv } \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$ 　･･････(3)

(1-1)に(2)を代入する．

$3$\displaystyle{G $w$ }$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}\displaystyle{ \int _{ - \infty }^{\infty} f $v$ \frac{\hspace{2} {e}^{ iwv }+{e}^{ - iwv } \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}dv }}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2{\pi} \hspace{2}}\displaystyle{ \int _{ - \infty }^{\infty} f $v$ {e}^{ iwv }dv+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2{\pi} \hspace{2}}\displaystyle{ \int _{ - \infty }^{\infty} f $v$ }{e}^{ - iwv }dv }}$ 　･･････(4)

(1-2)に(3)を代入する．

$3$\displaystyle{H $w$ }$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}\displaystyle{ \int _{ - \infty }^{\infty} f $v$ $ - i\frac{\hspace{2} {e}^{ iwv }- {e}^{ - iwv } \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ dv }}$

$3$\displaystyle{=- i $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2{\pi} \hspace{2}}\displaystyle{ \int _{ - \infty }^{\infty} f \(v$ {e}^{ iwv }dv- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2{\pi} \hspace{2}}\displaystyle{ \int _{ - \infty }^{\infty} f $v$ {e}^{ - iwv }dv } } \) }$ 　･･････(5)

$3$\displaystyle{\cos wx=\frac{\hspace{2} {e}^{ iwx }+{e}^{ - iwx } \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$ 　･･････(6)

$3$\displaystyle{\sin wx=- i\frac{\hspace{2} {e}^{ iwx }- {e}^{ - iwx } \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$ 　･･････(7)

(1)に(4)，(5)，(6)，(7)を代入する．

$3$\displaystyle{ f $x$ =}$

$3$\displaystyle{\displaystyle{ \int _{0}^{\infty} \{ $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2{\pi} \hspace{2}}\displaystyle{ \int _{ - \infty }^{\infty} f \(v$ {e}^{ iwv }dv+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2{\pi} \hspace{2}}\displaystyle{ \int _{ - \infty }^{\infty} f $v$ {e}^{ - iwv }dv } } \) \frac{\hspace{2} {e}^{ iwx }+{e}^{ - iwx } \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }}$

$3$\displaystyle{ - i $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2{\pi} \hspace{2}}\displaystyle{ \int _{ - \infty }^{\infty} f \(v$ {e}^{ iwv }dv- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2{\pi} \hspace{2}}\displaystyle{ \int _{ - \infty }^{\infty} f $v$ {e}^{ - iwv }du } } \) $ - i\frac{\hspace{2} {e}^{ iwx }- {e}^{ - iwx } \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ \} dw}$

$3$\displaystyle{= \displaystyle{ \int _{0}^{\infty} \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} \{ $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2{\pi} \hspace{2}}\displaystyle{ \int _{ - \infty }^{\infty} f \(v$ {e}^{ iwv }dv } \) {e}^{ iwx }+ $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2{\pi} \hspace{2}}\displaystyle{ \int _{ - \infty }^{\infty} f \(v$ {e}^{ - iwv }du } \) {e}^{ iwx } } }$

$3$\displaystyle{+ $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2{\pi} \hspace{2}}\displaystyle{ \int _{ - \infty }^{\infty} f \(v$ {e}^{ iwv }dv } \) {e}^{ - iwx }+ $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2{\pi} \hspace{2}}\displaystyle{ \int _{ - \infty }^{\infty} f \(v$ {e}^{ - iwv }dv } \) {e}^{ - iwx }}$

$3$\displaystyle{- $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2{\pi} \hspace{2}}\displaystyle{ \int _{ - \infty }^{\infty} f \(v$ {e}^{ iwv }dv } \) {e}^{ iwx }+ $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2{\pi} \hspace{2}}\displaystyle{ \int _{ - \infty }^{\infty} f \(v$ {e}^{ - iwv }dv } \) {e}^{ iwx }}$

$3$\displaystyle{ + $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2{\pi} \hspace{2}}\displaystyle{ \int _{ - \infty }^{\infty} f \(v$ {e}^{ iwv }dv } \) {e}^{ - iwx }- $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2{\pi} \hspace{2}}\displaystyle{ \int _{ - \infty }^{\infty} f \(v$ {e}^{ - iwv }dv } \) {e}^{ - iwx } \} dw}$

$3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int _{0}^{\infty} \{ $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2{\pi} \hspace{2}}\displaystyle{ \int _{ - \infty }^{\infty} f \(v$ {e}^{ - iwv }dv } \) {e}^{ iwx }+ $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2{\pi} \hspace{2}}\displaystyle{ \int _{ - \infty }^{\infty} f \(v$ {e}^{ iwv }dv } \) {e}^{ - iwx } \} dw }}$

$3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int _{0}^{\infty} $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2{\pi} \hspace{2}}\displaystyle{ \int _{ - \infty }^{\infty} f \(v$ {e}^{ - iwv }dv } \) {e}^{ iwx }dw }+\displaystyle{ \int _{0}^{\infty} $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2{\pi} \hspace{2}}\displaystyle{ \int _{ - \infty }^{\infty} f \(v$ {e}^{ iwv }dv } \) {e}^{ - iwx }dw }}$ 　･･････(8)

となる．(8)の右辺の第１項

$3$\displaystyle{\displaystyle{ \int _{0}^{\infty} $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2{\pi} \hspace{2}}\displaystyle{ \int _{ - \infty }^{\infty} f \(v$ {e}^{ - iwv }dv } \) {e}^{ iwx }dw }}$ 　･･････(9)

について， $3$\displaystyle{w=- {\gamma}}$ と置く置換積分をする．

$3$\displaystyle{dw=- d{\gamma}}$

$3$\displaystyle{w}$ が $3$\displaystyle{0}$ から $3$\displaystyle{\infty}$ のとき， $3$\displaystyle{{\gamma}}$ は $3$\displaystyle{0}$ から $3$\displaystyle{- \infty}$ となる．よって(9)は

$3$\displaystyle{\displaystyle{ \int _{0}^{ - \infty } $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2{\pi} \hspace{2}}\displaystyle{ \int _{ - \infty }^{\infty} f \(v$ {e}^{ i{\gamma}v }dv } \) {e}^{ - i{\gamma}x } $ - d{\gamma} $ }}$

$3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int _{ - \infty }^{0} $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2{\pi} \hspace{2}}\displaystyle{ \int _{ - \infty }^{\infty} f \(v$ {e}^{ i{\gamma}v }dv } \) {e}^{ - i{\gamma}x }d{\gamma} }}$

となる．積分変数 $3$\displaystyle{{\gamma}}$ を $3$\displaystyle{w}$ に書き換える( $3$\displaystyle{{\gamma}=w}$ の置換積分をする)と

$3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int _{ - \infty }^{0} $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2{\pi} \hspace{2}}\displaystyle{ \int _{ - \infty }^{\infty} f \(v$ {e}^{ iwv }dv } \) {e}^{ - iwx }dw }}$ 　･･････(10)

(10)を(8)に代入すると

$3$\displaystyle{ f $x$ =}$ $3$\displaystyle{\displaystyle{ \int _{ - \infty }^{0} $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2{\pi} \hspace{2}}\displaystyle{ \int _{ - \infty }^{\infty} f \(v$ {e}^{ iwv }dv } \) {e}^{ - iwx }dw }}$ $3$\displaystyle{+\displaystyle{ \int _{0}^{\infty} $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2{\pi} \hspace{2}}\displaystyle{ \int _{ - \infty }^{\infty} f \(v$ {e}^{ iwv }dv } \) }{e}^{ - iwx }dw}$

$3$\displaystyle{\displaystyle{= \int _{ - \infty }^{\infty} $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2{\pi} \hspace{2}}f \(v$ {e}^{ iwv }dv \) {e}^{ - iwx }dw }}$ 　･･････(11)

となる．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 2{\pi} } \hspace{2}}\displaystyle{ \int _{ - \infty }^{\infty} f $v$ {e}^{ iwv }dv=F $w$ }}$ 　･･････(12)

とおく．(12)を(11)に代入すると

$3$\displaystyle{f $x$ }$ $3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int _{ - \infty }^{\infty} \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 2{\pi} } \hspace{2}} }F $w$ {e}^{ - iwx }dw}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 2{\pi} } \hspace{2}}\displaystyle{ \int _{ - \infty }^{\infty} F $w$ {e}^{ - iwx }dw }}$ 　･･････(13)

となる．(12)の積分変数を $3$\displaystyle{v}$ から $3$\displaystyle{x}$ に書き換えると

$3$\displaystyle{F $w$ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 2{\pi} } \hspace{2}}\displaystyle{ \int _{ - \infty }^{\infty} f $x$ {e}^{ iwx }dx }}$ 　･･････(14)

となる．

すなわち

$3$\displaystyle{f $x$ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 2{\pi} } \hspace{2}}\displaystyle{ \int _{ - \infty }^{\infty} F $w$ {e}^{ - iwx }dw }}$ 　･･････(13)

$3$\displaystyle{F $w$ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 2{\pi} } \hspace{2}}\displaystyle{ \int _{ - \infty }^{\infty} f $x$ {e}^{ iwx }dx }}$ 　･･････(14)

となる．

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最終更新日： 2023年7月3日