円運動

回転運動の間，回転半径が常に一定であれば，その運動を円運動という．この場合，回転中心は変化しない．

図のように，点 $3$\displaystyle{\text{O}}$ を回転中心として，一定の半径 $3$\displaystyle{R}$ の円運動している質点の位置 $3$\displaystyle{\mathbb{r}}$ は， $3$\displaystyle{x}$ 軸から測った角度 $3$\displaystyle{{\theta}}$ を用いて

$3$\displaystyle{ \mathbb{r}=$x\text{\hspace{1}},\text{\hspace{1}}y$=$R\cos {\theta}\text{\hspace{1}},\text{\hspace{1}}R\sin {\theta}$ }$ ---- (1)

と表せる．ここで， $3$\displaystyle{{\theta}}$ は時刻 $3$\displaystyle{t}$ の関数である（ $3$\displaystyle{{\theta}={\theta}$t$}$ ）．円運動している質点の速度 $3$\displaystyle{\mathbb{v}}$ は

$3$\displaystyle{ \mathbb{v}=$\hspace{1}{v}_{x}\text{\hspace{1}},\text{\hspace{1}}\hspace{1}{v}_{y}$ }$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} d\mathbb{r} \hspace{2}}{\hspace{2} dt \hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{ =$\frac{\hspace{2} dx \hspace{2}}{\hspace{2} dt \hspace{2}}\text{\hspace{1}},\text{\hspace{1}}\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dt \hspace{2}}$ }$
$3$\displaystyle{ =$- R\sin {\theta}\cdot \frac{\hspace{2} d{\theta} \hspace{2}}{\hspace{2} dt \hspace{2}}\text{\hspace{1}},\text{\hspace{1}}R\cos {\theta}\cdot \frac{\hspace{2} d{\theta} \hspace{2}}{\hspace{2} dt \hspace{2}}$ }$
$3$\displaystyle{ =$- R{\omega}\sin {\theta}\text{\hspace{1}},\text{\hspace{1}}R{\omega}\cos {\theta}$ }$ ---- (2)

となる．ここで， $3$\displaystyle{ {\omega}=\frac{\hspace{2} d{\theta} \hspace{2}}{\hspace{2} dt \hspace{2}} }$ は角速度を表す．内積 $3$\displaystyle{\mathbb{r}\cdot \mathbb{v}=0}$ より，位置 $3$\displaystyle{\mathbb{r}}$ と速度 $3$\displaystyle{\mathbb{v}}$ は直交する．また，質点の速さ $3$\displaystyle{v}$ は

$3$\displaystyle{ v=\|\mathbb{v}\|=\sqrt{ v_{x}^{2}+v_{y}^{2} } }$ $3$\displaystyle{ =\sqrt{ {R}^{2}{{\omega}}^{2}${ \sin }^{2}{\theta}+{ \cos }^{2}{\theta}$ } }$ $3$\displaystyle{ =R\|{\omega}\| }$ ---- (3)

となる．特に，円運動の速さが常に一定である運動を等速円運動という．式(3)から速さが一定ということは角速度が一定ということである．

円運動している質点の加速度 $3$\displaystyle{\mathbb{a}}$ は

$3$\displaystyle{ \mathbb{a}=$\hspace{1}{a}_{x}\text{\hspace{1}},\text{\hspace{1}}\hspace{1}{a}_{y}$ }$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} d\mathbb{v} \hspace{2}}{\hspace{2} dt \hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{ =$\frac{\hspace{2} d\hspace{1}{v}_{x} \hspace{2}}{\hspace{2} dt \hspace{2}}\text{\hspace{1}},\text{\hspace{1}}\frac{\hspace{2} d\hspace{1}{v}_{y} \hspace{2}}{\hspace{2} dt \hspace{2}}$ }$
   $3$\displaystyle{ =$- R\frac{\hspace{2} d{\omega} \hspace{2}}{\hspace{2} dt \hspace{2}}\sin {\theta}- R{\omega}\cos {\theta}\cdot \frac{\hspace{2} d{\theta} \hspace{2}}{\hspace{2} dt \hspace{2}}\text{\hspace{1}},\text{\hspace{1}}R\frac{\hspace{2} d{\omega} \hspace{2}}{\hspace{2} dt \hspace{2}}\cos {\theta}- R{\omega}\sin {\theta}\cdot \frac{\hspace{2} d{\theta} \hspace{2}}{\hspace{2} dt \hspace{2}}$ }$
   $3$\displaystyle{ =$- R\alpha \sin {\theta}- R{{\omega}}^{2}\cos {\theta}\text{\hspace{1}},\text{\hspace{1}}R\alpha \cos {\theta}- R{{\omega}}^{2}\sin {\theta}$ }$
   $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}\alpha \hspace{2}}{\hspace{2}{\omega}\hspace{2}}$- R{\omega}\sin {\theta}\text{\hspace{1}},\text{\hspace{1}}R{\omega}\cos {\theta}$ }$ $3$\displaystyle{ - {{\omega}}^{2}$R\cos {\theta}\text{\hspace{1}},\text{\hspace{1}}R\sin {\theta}$ }$
   $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}\alpha \hspace{2}}{\hspace{2}{\omega}\hspace{2}}\mathbb{v}- {{\omega}}^{2}\mathbb{r} }$     ---- (4)

となる．ここで， $3$\displaystyle{ \alpha =\frac{\hspace{2} d{\omega} \hspace{2}}{\hspace{2} dt \hspace{2}} }$ は角加速度を表す．式(4)の第1項目は速度 $3$\displaystyle{\mathbb{v}}$ と平行なので円軌道の接線方向を向いており，第2項目は位置 $3$\displaystyle{\mathbb{r}}$ と逆向きなので円の中心方向（法線方向）を向いている．したがって，

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{\mathbb{a}}_{t}=\frac{\hspace{2}\alpha \hspace{2}}{\hspace{2}{\omega}\hspace{2}}\mathbb{v} }$ , $3$\displaystyle{ \hspace{1}{\mathbb{a}}_{n}=- {{\omega}}^{2}\mathbb{r} }$

をそれぞれ接線加速度，向心加速度（または法線加速度）という．内積 $3$\displaystyle{\hspace{1}{\mathbb{a}}_{t}\cdot \hspace{1}{\mathbb{a}}_{n}=0}$ より，これらは直交している．また，これらの大きさは

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{a}_{t}=\left|{ \frac{\hspace{2}\alpha \hspace{2}}{\hspace{2}{\omega}\hspace{2}}\mathbb{v} }\right| }$ $3$\displaystyle{ =\left|{ \frac{\hspace{2}\alpha \hspace{2}}{\hspace{2}{\omega}\hspace{2}}\cdot R{\omega} }\right| }$ $3$\displaystyle{ =R\|\alpha \| }$ , $3$\displaystyle{ \hspace{1}{a}_{n}=\left|{ - {{\omega}}^{2}\mathbb{r} }\right| }$ $3$\displaystyle{ =R{{\omega}}^{2} }$

であり，加速度 $3$\displaystyle{\mathbb{a}}$ の大きさは

$3$\displaystyle{ a=\sqrt{ a_{t}^{2}+a_{n}^{2} }=R\sqrt{ {\alpha }^{2}+{{\omega}}^{4} } }$

となる．角加速度がゼロ ( $3$\displaystyle{\alpha =0}$ ) のとき，角速度は一定となるので等速円運動であり，このとき接線加速度はゼロ ( $3$\displaystyle{\hspace{1}{\mathbb{a}}_{t}=0}$ ) となる．

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