ガウス積分

$3$\displaystyle{a> 0}$ とする関数 $3$\displaystyle{f$x$={e}^{ - a{x}^{2} }}$ の $3$\displaystyle{- \infty}$ から $3$\displaystyle{\infty}$ までの積分

$3$\displaystyle{ I=\int _{ - \infty }^{\infty} {e}^{ - a{x}^{2} }dx =\sqrt{ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}} } }$

をガウス積分という．

ガウス分布（正規分布）の確率密度関数の積分の計算などで出てくる．

【証明】

重積分と極座標を利用して証明する．まず，

$3$\displaystyle{ I=\int _{ - \infty }^{\infty} {e}^{ - a{x}^{2} }dx =\int _{ - \infty }^{\infty} {e}^{ - a{y}^{2} }dy }$ より

$3$\displaystyle{ {I}^{2}=\int _{ - \infty }^{\infty} {e}^{ - a{x}^{2} }dx \int _{ - \infty }^{\infty} {e}^{ - a{y}^{2} }dy }$

$3$\displaystyle{ \{\red{\text{there is tag which can't be converted to TeX}}\}=\int _{ - \infty }^{\infty}\int _{ - \infty }^{\infty} {e}^{ - a${x}^{2}+{y}^{2}$ }dxdy }$

と書ける．次に，平面の極座標 $3$\displaystyle{$r,θ$}$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
を用いて，変数変換 $3$\displaystyle{x=r\cos θ}$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
, $3$\displaystyle{y=r\sin θ}$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
を行うと $3$\displaystyle{{x}^{2}+{y}^{2}={r}^{2}}$ であり，重積分における変数変換よりヤコビアンは $3$\frac{\hspace{2} {\partial} $ x,y $ \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial} $ r,θ $ \hspace{2}}=r$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
なので， $3$\displaystyle{dxdy=rdrd{\theta}}$ と置き換わる．したがって，

$3$\displaystyle{ {I}^{2}=\int _{0}^{ 2{\pi} }\int _{0}^{\infty} {e}^{ - a{r}^{2} }rdrdθ }$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。

$3$\displaystyle{ \{\red{\text{there is tag which can't be converted to TeX}}\}=2{\pi}\int _{0}^{\infty} r{e}^{ - a{r}^{2} }dr }$ $3$\displaystyle{ =2{\pi} \left[{ \frac{\hspace{2} {e}^{ - a{r}^{2} } \hspace{2}}{\hspace{2} - 2a \hspace{2}} }\right] _{0}^{\infty} }$

$3$\displaystyle{ \{\red{\text{there is tag which can't be converted to TeX}}\}=2{\pi}\left({ 0- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} - 2a \hspace{2}} }\right) }$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}} }$

が得られ，

$3$\displaystyle{ I=\int _{ - \infty }^{\infty} {e}^{ - a{x}^{2} }dx =\sqrt{ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}} } }$

が求まる．

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