正規分布(normal distribution)

確率密度関数（確率分布）が

$3$\displaystyle{f $x$ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 2{\pi} }{\sigma} \hspace{2}}{e}^{ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{ $ \frac{\hspace{2} x- {\mu} \hspace{2}}{\hspace{2}{\sigma}\hspace{2}} $ }^{2} }}$ 　･･････(1)

となるものを正規分布とい，確率変数 $3$\displaystyle{X}$ は正規分布 $3$\displaystyle{N $ {\mu},{{\sigma}}^{2} $ }$ に従うという．

$3${\mu}$ は平均で

$3$\displaystyle{{\mu}=E\left[{X}\right]=\displaystyle{ \int _{ - \infty }^{\infty} xf\left({x}\right)dx }}$ $3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int _{ - \infty }^{\infty} x\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 2{\pi} }{\sigma} \hspace{2}}{e}^{ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{ \left({ \frac{\hspace{2} x- {\mu} \hspace{2}}{\hspace{2}{\sigma}\hspace{2}} }\right) }^{2} }dx }}$

$3${\sigma}$ は標準偏差で，分散 $3${{\sigma}}^{2}$ の平方根である． $3${{\sigma}}^{2}$ は

$3$\displaystyle{{{\sigma}}^{2}=V\left[{X}\right]}$ $3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int _{ - \infty }^{\infty} { \left({ x- {\mu} }\right) }^{2}f\left({x}\right)dx }}$ $3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int _{ - \infty }^{\infty} { \left({ x- {\mu} }\right) }^{2}\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 2{\pi} }{\sigma} \hspace{2}}{e}^{ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{ \left({ \frac{\hspace{2} x- {\mu} \hspace{2}}{\hspace{2}{\sigma}\hspace{2}} }\right) }^{2} }dx }}$

である．

正規分布の累積分布関数は

$3$\displaystyle{F\left({x}\right)=\displaystyle{ \int _{ - \infty }^{x} f\left({t}\right)dt }}$ $3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int _{ - \infty }^{x} \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 2{\pi} }{\sigma} \hspace{2}}{e}^{ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{ \left({ \frac{\hspace{2} t- {\mu} \hspace{2}}{\hspace{2}{\sigma}\hspace{2}} }\right) }^{2} }dt }}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\left({ 1+\text{erf}\frac{\hspace{2} x- {\mu} \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 2{{\sigma}}^{2} } \hspace{2}} }\right)}$ 　･･････(2)

（ただし， $3$\displaystyle{\text{erf}\left({x}\right)}$ は誤差関数で， $3$\displaystyle{\text{erf}\left({x}\right)=\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{{\pi}} \hspace{2}}\displaystyle{ \int _{0}^{x} {e}^{ - {t}^{2} }dt }}$ である）

である．

■標準正規分布

確率変数 $3$\displaystyle{X}$ を

$3$\displaystyle{Y=\frac{\hspace{2} X- {\mu} \hspace{2}}{\hspace{2}{\sigma}\hspace{2}}}$

により標準化することによって得られる確率密度関数

$3$\displaystyle{g\left({y}\right)=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 2{\pi} } \hspace{2}}{e}^{ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{y}^{2} }}$ 　･･････(3)

を標準正規分布といい，確率変数 $3$\displaystyle{Y}$ は正規分布 $3$\displaystyle{N\left({ 0,1 }\right)}$ に従うという．

$3$\displaystyle{E\left[{Y}\right]=0}$ ， $3$\displaystyle{V\left[{Y}\right]=1}$

標準正規分布の累積分布関数は

$3$\displaystyle{G\left({y}\right)=\displaystyle{ \int _{ - \infty }^{y} f\left({t}\right)dt }}$ $3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int _{ - \infty }^{y} \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 2{\pi} } \hspace{2}}{e}^{ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{t}^{2} }dt }}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\left({ 1+\text{erf}\frac{\hspace{2}y\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{2} \hspace{2}} }\right)}$ 　･･････(4)

である．

(1)を標準化することで(3)を導いてみる．(1)は確率密度関数なので

$3$\displaystyle{\displaystyle{ \int _{ - \infty }^{\infty} \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 2{\pi} }{\sigma} \hspace{2}}{e}^{ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{ \left({ \frac{\hspace{2} x- {\mu} \hspace{2}}{\hspace{2}{\sigma}\hspace{2}} }\right) }^{2} }dx }=1}$ 　･･････(3)

となっている．(3)の左辺の積分を $3$\displaystyle{y=\frac{\hspace{2} x- {\mu} \hspace{2}}{\hspace{2}{\sigma}\hspace{2}}}$ とおいて置換積分をしてみる．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}{\sigma}\hspace{2}}\rightarrow dx={\sigma}dy}$

$3$x:- \infty\rightarrow \infty$ のとき $3$y:- \infty\rightarrow \infty$

より

$3$\displaystyle{\displaystyle{ \int _{ - \infty }^{\infty} \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 2{\pi} }{\sigma} \hspace{2}}{e}^{ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{y}^{2} }{\sigma}dy }}$ $3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int _{ - \infty }^{\infty} \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 2{\pi} } \hspace{2}}{e}^{ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{y}^{2} }dy }}$

となる．積分変数を置換しても定積分の値はかわらないので

$3$\displaystyle{\displaystyle{ \int _{ - \infty }^{\infty} \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 2{\pi} } \hspace{2}}{e}^{ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{y}^{2} }dy }=1}$ 　･･････(4)