面密度　 $3$\displaystyle{ {\rho}\text{\hspace{1}}\[{ \text{kg/m} }^{\text{2}}\] }$ が一定の剛体の重心

剛体の重心を求める際には，多くの質点が集まり剛体が形成されていると考えるとよい．

ここで，有限の質量 $3$\displaystyle{ {\Delta}\hspace{1}{m}_{i}={\rho}{\Delta}\hspace{1}{s}_{i}\text{\hspace{1}}\[\text{kg}\] }$ ( $3$\displaystyle{ {\Delta}\hspace{1}{s}_{i} }$ は面積) $3$\displaystyle{ $ i=1,2,\cdots ,n $ }$ が　 $3$\displaystyle{n}$ 個集まり，剛体が形成されていると考える．

無限小の質量 $3$\displaystyle{dm={\rho}ds}$ をもつ質点を無限個集めることで $3$\displaystyle{ $ n\rightarrow \infty $ }$ 、剛体全体を埋め尽くすことができる．

そこで， $3$\displaystyle{n}$ 質点系の重心(2次元)において， $3$\displaystyle{ n\rightarrow \infty }$ の極限をとると，

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{x}_{G}={ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }\frac{\hspace{2} {\Delta}\hspace{1}{m}_{1}\hspace{1}{x}_{1}+{\Delta}\hspace{1}{m}_{2}\hspace{1}{x}_{2}+\cdots +{\Delta}\hspace{1}{m}_{n}\hspace{1}{x}_{n} \hspace{2}}{\hspace{2} {\Delta}\hspace{1}{m}_{1}+{\Delta}\hspace{1}{m}_{2}+\cdots +{\Delta}\hspace{1}{m}_{n} \hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ ={ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }\frac{\hspace{2} {\rho}{\Delta}\hspace{1}{s}_{1}\hspace{1}{x}_{1}+{\rho}{\Delta}\hspace{1}{s}_{2}\hspace{1}{x}_{2}+\cdots +{\rho}{\Delta}\hspace{1}{s}_{n}\hspace{1}{x}_{n} \hspace{2}}{\hspace{2} {\rho}{\Delta}\hspace{1}{s}_{1}+{\rho}{\Delta}\hspace{1}{s}_{2}+\cdots +{\rho}{\Delta}\hspace{1}{s}_{n} \hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ ={ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }\frac{\hspace{2} \hspace{1}{x}_{1}{\Delta}\hspace{1}{s}_{1}+\hspace{1}{x}_{2}{\Delta}\hspace{1}{s}_{2}+\cdots +\hspace{1}{x}_{n}{\Delta}\hspace{1}{s}_{n} \hspace{2}}{\hspace{2} {\Delta}\hspace{1}{s}_{1}+{\Delta}\hspace{1}{s}_{2}+\cdots +{\Delta}\hspace{1}{s}_{n} \hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ ={ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }\frac{\hspace{2} \displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} \hspace{1}{x}_{i}{\Delta}\hspace{1}{s}_{i} } \hspace{2}}{\hspace{2} \displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} {\Delta}\hspace{1}{s}_{i} } \hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{ ={ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}s\hspace{2}}\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} \hspace{1}{x}_{i}{\Delta}\hspace{1}{s}_{i} } }$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}s\hspace{2}}{ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} \hspace{1}{x}_{i}{\Delta}\hspace{1}{s}_{i} } }$

$3$\displaystyle{ {}_\bullet\limits{ }^\bullet {}_\bullet \text{\hspace{1}}\text{\hspace{1}}\hspace{1}{x}_{G}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}s\hspace{2}}\displaystyle{ \int x\text{\hspace{1}}ds \text{\hspace{1}}\[\text{m}\]} }$

同様にして，

$3$\displaystyle{ {}_\bullet\limits{ }^\bullet {}_\bullet \text{\hspace{1}}\text{\hspace{1}}\hspace{1}{y}_{G}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}s\hspace{2}}\displaystyle{ \int y\text{\hspace{1}}ds \text{\hspace{1}}\[\text{m}\]} }$

ホーム>>物理>>第1編　力と運動>>第1章　剛体>>面密度　 $3$\displaystyle{ {\rho}\text{\hspace{1}}\[{ \text{kg/m} }^{\text{2}}\] }$ が一定の剛体の重心

学生スタッフ作成

2025年10月30日

面密度 が一定の剛体の重心

面密度　 $3$\displaystyle{ {\rho}\text{\hspace{1}}\[{ \text{kg/m} }^{\text{2}}\] }$ が一定の剛体の重心